Séries numériques et vectorielles : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Divergence grossière et premières sommes

Les questions sont indépendantes.

1. Déterminez la nature de la série \(\sum_{n \geq\, 1} ( \dfrac{n}{n+1} )^n\).
2. Déterminez la nature de la série \(\sum_{n \geq\, 1} \cos( \dfrac{1}{n} )\).
3. Justifiez la convergence de \(\sum_{n \geq\, 0} \dfrac{2^n + 3^n}{5^n}\) et calculez sa somme.
4. Montrez que \(\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} \geq\, \sqrt{n}\) pour tout \(n \geq\, 1\). Qu’en déduisez-vous pour la série \(\sum 1/\sqrt{n}\), dont le terme général tend pourtant vers \(0\) ?

Exercice 2 : Séries télescopiques

1. Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 2} \ln(1 – \dfrac{1}{n^2})\) converge et calculez sa somme.
2. Décomposez \(\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}\) sous la forme \(\dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{n(n+1)} – \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} )\), puis calculez \(\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}\).
3. Montrez que, pour tout entier \(n \geq\, 0\), \(\arctan(n+1) – \arctan(n) = \arctan( \dfrac{1}{n^2 + n + 1} )\).
4. En déduisez la valeur de \(\sum_{n=0}^{+\infty} \arctan( \dfrac{1}{n^2 + n + 1} )\).

Exercice 3 : Nature par équivalents

Déterminez la nature des séries de terme général suivant, définies pour \(n \geq\, 1\).

1. \(a_n = \dfrac{n+1}{n^3 + 2}\)
2. \(b_n = \sin( \dfrac{1}{n} )\)
3. \(c_n = 1 – \cos( \dfrac{1}{n} )\)
4. \(d_n = e^{1/n} – 1 – \dfrac{1}{n}\)
5. \(e_n = \dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\)
6. \(f_n = n^2 e^{-\sqrt{n}}\)

Exercice 4 : Règle de d’Alembert

1. Étudiez la nature de \(\sum \dfrac{n^3}{2^n}\).
2. Étudiez la nature de \(\sum \dfrac{(n!)^2}{(2n)!}\).
3. Étudiez la nature de \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{2^n\, n!}{n^n}\).
4. On pose \(u_n = \dfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2}\) pour \(n \geq\, 1\). Vérifiez que la règle de d’Alembert ne permet pas de conclure. Montrez ensuite que la suite \((n u_n)\) est croissante, puis concluez sur la nature de \(\sum u_n\).

Exercice 5 : Encadrement de la série harmonique

On note \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}\) pour \(n \geq\, 1\).

1. Par comparaison série-intégrale, montrez que \(\ln(n+1) \leq\, H_n \leq\, 1 + \ln n\). Déduisez-en un équivalent de \(H_n\).
2. On pose \(u_n = H_n – \ln n\) et \(v_n = H_n – \ln(n+1)\). Montrez que ces suites sont adjacentes. On note \(\gamma\) leur limite commune.
3. Donnez un encadrement de \(\gamma\) à l’aide de \(u_1\) et \(v_1\).

Exercice 6 : Série de vecteurs du plan

On identifie \(\mathbb{C}\) au plan \(\mathbb{R}^2\) et on pose \(u_n = ( \dfrac{i}{2} )^n\) pour \(n \geq\, 0\). La figure ci-dessous représente les premiers termes \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) comme des vecteurs issus de l’origine.

1. Montrez que la série \(\sum u_n\) converge absolument.
2. Calculez sa somme sous forme algébrique.
3. Déduisez-en les valeurs de \(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{\cos(n\pi/2)}{2^n}\) et de \(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{\sin(n\pi/2)}{2^n}\), puis vérifiez le premier résultat directement.
4. Dans \(\mathbb{R}^2\), étudiez les séries de vecteurs \(\sum_{n \geq\, 0} w_n\) et \(\sum_{n \geq\, 1} z_n\), où \(w_n = ( \dfrac{1}{2^n}, \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} )\) et \(z_n = ( \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n^2} )\). Calculez la somme quand elle existe.

Exercice 7 : Séries à paramètre et comparaison

1. Soit \(a \in \mathbb{R}\). Déterminez, selon \(a\), la nature de \(\sum_{n \geq\, 1} n^a ( 1 – \cos \dfrac{1}{n} )\).
2. Déterminez la nature de \(\sum_{n \geq\, 1} ( n^{1/n} – 1 )\).
3. Déterminez la nature de \(\sum_{n \geq\, 1} ( \dfrac{1}{n} )^{1 + 1/n}\).
4. Soit \(a \in \mathbb{R}\). Montrez que \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{(\ln n)^a}{n^2}\) converge.
5. Soit \(x > 0\). Déterminez, selon \(x\), la nature de \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{x^n}{1 + x^{2n}}\).

Exercice 8 : Lien suite-série pour une somme de racines

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} – 2\sqrt{n}\).

1. Montrez que \(u_{n+1} – u_n = -\dfrac{1}{\sqrt{n+1}\, ( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} )^2}\), puis donnez un équivalent de \(u_{n+1} – u_n\).
2. Déduisez-en que \((u_n)\) converge vers un réel \(C\). Que peut-on en conclure pour \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\) ?
3. Montrez que \(u_n – C = \sum_{k=n}^{+\infty} (u_k – u_{k+1})\), puis, à l’aide d’une comparaison série-intégrale, que \(u_n – C \sim \dfrac{1}{2\sqrt{n}}\).

Exercice 9 : Sommes partielles par comparaison série-intégrale

1. Montrez que, pour tout \(n \geq\, 1\), \(\dfrac{2}{3} n^{3/2} \leq\, \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \leq\, \dfrac{2}{3}( (n+1)^{3/2} – 1 )\). Déduisez-en un équivalent de \(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}\).
2. Montrez que, pour tout \(n \geq\, 1\), \(n \ln n – n + 1 \leq\, \ln(n!) \leq\, (n+1)\ln(n+1) – n\). Déduisez-en que \(\ln(n!) \sim n \ln n\).
3. Plus généralement, soit \(\alpha > 0\). Montrez que \(\sum_{k=1}^{n} k^{\alpha} \sim \dfrac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}\).

Exercice 10 : Séries de Bertrand

1. Montrez que \(f : t \mapsto \dfrac{1}{t \ln t}\) est décroissante et positive sur \([2, +\infty[\). À l’aide d’une comparaison série-intégrale, montrez que \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{1}{n \ln n}\) diverge et que \(S_n = \sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k \ln k} \sim \ln(\ln n)\).
2. Montrez que \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{1}{n (\ln n)^2}\) converge, et que son reste \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k (\ln k)^2}\) vérifie \(\dfrac{1}{\ln(n+1)} \leq\, R_n \leq\, \dfrac{1}{\ln n}\) pour \(n \geq\, 2\).
3. En utilisant le résultat \(\ln(n!) \sim n \ln n\), déterminez la nature de \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{1}{\ln(n!)}\).

Exercice 11 : Reste de la série de Riemann

Soit \(\alpha > 1\). On note \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}}\).

1. Montrez que \(\dfrac{1}{(\alpha – 1)(n+1)^{\alpha – 1}} \leq\, R_n \leq\, \dfrac{1}{(\alpha – 1) n^{\alpha – 1}}\) pour \(n \geq\, 1\), et déduisez-en un équivalent de \(R_n\).
2. Pour \(\alpha = 3\), déterminez un entier \(n\) qui garantit \(R_n \leq\, 10^{-4}\).
3. Pour \(\alpha = 2\), on note \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\). Montrez que \(| \dfrac{\pi^2}{6} – S_n – \dfrac{1}{n} | \leq\, \dfrac{1}{n(n+1)}\). On admet que la somme de la série vaut \(\pi^2/6\).

Exercice 12 : Majoration d’un reste par d’Alembert

On considère la série \(\sum_{n \geq\, 1} u_n\) avec \(u_n = \dfrac{n}{3^n}\), et on note \(S\) sa somme et \(R_n\) son reste d’indice \(n\).

1. Montrez que la série converge.
2. En comparant \(S\) et \(S/3\), calculez \(S\).
3. Montrez que \(\dfrac{u_{k+1}}{u_k} \leq\, \dfrac{1}{2}\) pour tout \(k \geq\, 2\). Déduisez-en que \(R_n \leq\, \dfrac{2(n+1)}{3^{n+1}}\) pour tout \(n \geq\, 1\).
4. Déterminez un rang \(n\) à partir duquel la somme partielle \(S_n\) approche \(S\) à \(10^{-3}\) près.

Exercice 13 : Sommation des équivalents dans le cas divergent

Donnez un équivalent simple de chacune des sommes suivantes quand \(n \to +\infty\).

1. \(A_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k – 1}\)
2. \(B_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 \ln( 1 + \dfrac{1}{k} )\)
3. \(C_n = \sum_{k=1}^{n} \ln( 1 + \dfrac{1}{\sqrt{k}} )\), en admettant que \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \sim 2\sqrt{n}\).
4. \(D_n = \sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{\ln k}\). On pourra introduire \(a_k = \dfrac{k}{\ln k}\) et appliquer le théorème des accroissements finis à \(t \mapsto t/\ln t\).

Exercice 14 : Sommation des équivalents dans le cas convergent

1. Justifiez la convergence de \(\sum \dfrac{1}{k^2 + k + 1}\) et donnez un équivalent de son reste \(\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2 + k + 1}\).
2. Vérifiez que, pour \(k \geq\, 2\), \(\dfrac{1}{(k-1)k(k+1)} = \dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{(k-1)k} – \dfrac{1}{k(k+1)} )\). Déduisez-en un équivalent de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty} \sin( \dfrac{1}{k^3} )\).
3. Donnez un équivalent de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty} ( e^{1/k^2} – 1 )\).
4. Montrez que \(\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{2n^2} + o( \dfrac{1}{n^2} )\). On pourra étudier \(\dfrac{1}{k^2} – \dfrac{1}{k(k-1)}\).

Exercice 15 : Théorème de Cesàro et moyennes géométriques

1. Calculez \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k \sin( \frac{1}{k} )\).
2. Calculez \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} ( 1 + \frac{1}{k} )^k\).
3. En appliquant le théorème de Cesàro à \(\ln(a_{k+1}/a_k)\) avec \(a_n = n^n/n!\), montrez que \(\dfrac{n}{(n!)^{1/n}} \to e\).
4. Donnez une suite divergente dont les moyennes de Cesàro convergent.

Exercice 16 : Série géométrique de matrices

On pose \(A = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/3 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Montrez que \(A^n = \dfrac{1}{2^n}\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) pour tout \(n \geq\, 0\).
2. Montrez que la série \(\sum A^n\) converge et calculez sa somme \(S\).
3. Vérifiez que \(S = (I_2 – A)^{-1}\).
4. On munit \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) de la norme \(\|M\| = \max_{i} \sum_{j} |m_{ij}|\), dont on admet qu’elle est sous-multiplicative. Calculez \(\|A\|\) et \(\|B\|\). Montrez que \(\sum B^n\) converge absolument et calculez sa somme.

Exercice 17 : Exponentielle d’une matrice

Pour \(M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on rappelle que \(\exp(M) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{M^n}{n!}\).

1. Soit \(a, b \in \mathbb{R}\) et \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}\). Calculez \(A^n\), puis \(\exp(A)\).
2. Soit \(J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) et \(t \in \mathbb{R}\). Calculez \(J^2\), puis montrez que \(\exp(tJ) = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}\).
3. Soit \(\|\cdot\|\) une norme subordonnée sur \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Montrez que \(\|\exp(M)\| \leq\, e^{\|M\|}\).

Exercice 18 : Développement asymptotique de la série harmonique

On note \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) et on admet que \(H_n – \ln n \to \gamma\). On pose \(w_n = H_n – \ln n – \gamma\).

1. Montrez que \(w_n – w_{n+1} \sim \dfrac{1}{2n^2}\).
2. Justifiez que \(w_n = \sum_{k=n}^{+\infty} (w_k – w_{k+1})\), puis montrez que \(w_n \sim \dfrac{1}{2n}\).
3. Déduisez-en que \(H_n = \ln n + \gamma + \dfrac{1}{2n} + o( \dfrac{1}{n} )\).
4. Donnez un équivalent de \(\sum_{k=1}^{n} w_k\).

Exercice 19 : Suite récurrente et théorème de Cesàro

Soit \(u_0 \in ] 0, \frac{\pi}{2} ]\) et \(u_{n+1} = \sin(u_n)\). La figure ci-dessous montre la construction des premiers termes pour \(u_0 = 1{,}5\).

1. Montrez que \((u_n)\) est à valeurs dans \(] 0, \frac{\pi}{2} ]\), décroissante, et qu’elle converge vers \(0\).
2. Montrez que \(\dfrac{1}{u_{n+1}^2} – \dfrac{1}{u_n^2} \to \dfrac{1}{3}\).
3. Déduisez-en un équivalent de \(u_n\).
4. Déterminez la nature des séries \(\sum u_n\), \(\sum u_n^2\) et \(\sum u_n^3\).

Exercice 20 : Récurrence et sommation des équivalents

Soit \(u_0 > 0\) et \(u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n}\) pour \(n \geq\, 0\).

1. Montrez que \((u_n)\) est bien définie, strictement positive, croissante, et qu’elle tend vers \(+\infty\).
2. Calculez \(u_{n+1}^2 – u_n^2\) et déduisez-en que \(u_n \sim \sqrt{2n}\).
3. Montrez que \(u_n^2 = 2n + \dfrac{1}{2} \ln n + o(\ln n)\).
4. Déduisez-en que \(u_n = \sqrt{2n} + \dfrac{\ln n}{4\sqrt{2n}} + o( \dfrac{\ln n}{\sqrt{n}} )\).

Exercice 21 : Problème sur la formule de Stirling

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(u_n = \ln( \dfrac{n!\, e^n}{n^{n + 1/2}} )\).

1. Montrez que \(u_{n+1} – u_n = 1 – ( n + \dfrac{1}{2} ) \ln( 1 + \dfrac{1}{n} )\).
2. Montrez que \(u_{n+1} – u_n = -\dfrac{1}{12 n^2} + O( \dfrac{1}{n^3} )\).
3. Déduisez-en que \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\), puis qu’il existe \(C > 0\) tel que \(n! \sim C\, n^{n + 1/2} e^{-n}\).
4. Montrez que \(u_n – \ell \sim \dfrac{1}{12 n}\).
5. On admet que \(\dbinom{2n}{n} \sim \dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\). Déduisez-en que \(C = \sqrt{2\pi}\).
6. Déterminez enfin la nature des séries \(\sum \dfrac{n!\, e^n}{n^n}\) et \(\sum \dbinom{2n}{n} \dfrac{1}{4^n}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : séries numériques et vectorielles, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Normes, espaces vectoriels normés et suites
• Chapitre précédent : Compacité, connexité par arcs et dimension finie
• Chapitre suivant : Suites de fonctions : convergence simple et uniforme
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup