Polynômes d’endomorphismes : cours de maths spé en PDF.

Pour \(P = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k \in \mathbb{K}[X]\), on pose \(P(u) = \sum_{k=0}^{d} a_k u^k\), avec la convention \(u^0 = \mathrm{id}_E\). De même, pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on pose \(P(A) = \sum_{k=0}^{d} a_k A^k\) avec \(A^0 = I_n\).

L’application \(\varphi_u : \mathbb{K}[X] \to \mathcal{L}(E)\), \(P \mapsto P(u)\), est un morphisme d’algèbres. Autrement dit, pour tous \(P, Q \in \mathbb{K}[X]\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\) :

\[(\lambda P + Q)(u) = \lambda P(u) + Q(u), \quad (PQ)(u) = P(u) \circ Q(u), \quad 1(u) = \mathrm{id}_E.\]

La linéarité est immédiate. Pour le produit, il suffit par bilinéarité de traiter \(P = X^i\) et \(Q = X^j\). Or \((X^{i+j})(u) = u^{i+j} = u^i \circ u^j\). Le résultat s’étend donc à tous les polynômes.

Si \(A\) est la matrice de \(u\) dans une base \(\mathcal{B}\), alors \(P(A)\) est la matrice de \(P(u)\) dans \(\mathcal{B}\). Par ailleurs, si \(B = Q^{-1} A Q\), alors \(P(B) = Q^{-1} P(A) Q\). Tout ce qui suit vaut donc aussi pour les matrices.

Un polynôme \(P\) est dit annulateur de \(u\) si \(P(u) = 0\). L’ensemble \(\ker \varphi_u\) des polynômes annulateurs est un idéal de \(\mathbb{K}[X]\), appelé idéal annulateur de \(u\). L’image \(\mathbb{K}[u] = \{P(u) ,\ P \in \mathbb{K}[X]\}\) est une sous-algèbre commutative de \(\mathcal{L}(E)\).

Soit \(p\) un projecteur de \(E\). Comme \(p^2 = p\), le polynôme \(X^2 – X\) annule \(p\). Ensuite, pour tout \(P\), la division euclidienne \(P = (X^2 – X)Q + aX + b\) donne \(P(p) = a p + b\,\mathrm{id}_E\). Ainsi, \(\mathbb{K}[p] = \mathrm{Vect}(\mathrm{id}_E, p)\).

Tout idéal de \(\mathbb{K}[X]\) est principal. Il existe donc un unique polynôme unitaire \(\pi_u\) tel que l’idéal annulateur de \(u\) soit \(\pi_u \mathbb{K}[X]\). On l’appelle polynôme minimal de \(u\). Pour une matrice \(A\), on note de même \(\pi_A\).

Pour une homothétie \(\lambda\,\mathrm{id}_E\), on a \(\pi = X – \lambda\). Pour un projecteur \(p\) différent de \(0\) et de \(\mathrm{id}_E\), aucun polynôme de degré 1 ne l’annule, donc \(\pi_p = X^2 – X\). Pour \(N = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\), on trouve \(N \neq 0\) et \(N^2 = 0\), donc \(\pi_N = X^2\).

Soit \(d = \deg \pi_u\). Alors la famille \((\mathrm{id}_E, u, \ldots, u^{d-1})\) est une base de \(\mathbb{K}[u]\). En particulier, \(\dim \mathbb{K}[u] = \deg \pi_u\).

D’abord, la famille est libre. En effet, une relation \(\sum_{k=0}^{d-1} c_k u^k = 0\) fournit un polynôme annulateur de degré au plus \(d – 1\). Il est donc nul par minimalité. Ensuite, elle est génératrice. Pour tout \(P\), on écrit \(P = \pi_u Q + R\) avec \(\deg R < d\). Alors \(P(u) = R(u)\), qui est combinaison de \(\mathrm{id}_E, \ldots, u^{d-1}\).

Pour déterminer le polynôme minimal d’une matrice \(A\) : 1) trouver un polynôme annulateur \(P\) (par un calcul de \(A^2\), par une relation évidente ou par Cayley-Hamilton) ; 2) factoriser \(P\) ; 3) tester les diviseurs unitaires de \(P\) par degré croissant. Le premier diviseur qui annule \(A\) est \(\pi_A\). On sait en outre que \(\pi_A\) contient toutes les valeurs propres comme racines, ce qui limite beaucoup les essais.

Soit \(J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), avec \(n \geq\, 2\), la matrice dont tous les coefficients valent 1. Un calcul direct donne \(J^2 = nJ\). Ainsi, \(X^2 – nX = X(X – n)\) annule \(J\). Or \(J\) n’est ni nulle ni égale à \(n I_n\). Aucun diviseur de degré 1 ne convient, donc \(\pi_J = X(X – n)\) et \(\dim \mathbb{K}[J] = 2\).

Si \(u(x) = \lambda x\), alors \(P(u)(x) = P(\lambda) x\) pour tout \(P \in \mathbb{K}[X]\). Par conséquent, si \(P\) annule \(u\), toute valeur propre de \(u\) est racine de \(P\) : \(\mathrm{Sp}(u) \subset \{\text{racines de } P\}\).

Par récurrence, \(u^k(x) = \lambda^k x\) pour tout \(k\). Par linéarité, \(P(u)(x) = P(\lambda)x\). Si \(P(u) = 0\) et \(x \neq 0\), on obtient \(P(\lambda) x = 0\), donc \(P(\lambda) = 0\).

Les racines du polynôme minimal \(\pi_u\) dans \(\mathbb{K}\) sont exactement les valeurs propres de \(u\).

D’une part, les valeurs propres sont racines de \(\pi_u\), qui annule \(u\). D’autre part, soit \(\lambda\) une racine de \(\pi_u\). On écrit \(\pi_u = (X – \lambda) Q\) avec \(\deg Q < \deg \pi_u\). Alors \(Q(u) \neq 0\) par minimalité. Or \((u – \lambda\,\mathrm{id}_E) \circ Q(u) = 0\). Ainsi, \(u – \lambda\,\mathrm{id}_E\) s’annule sur \(\mathrm{Im}\, Q(u) \neq \{0\}\). Elle n’est donc pas injective, et \(\lambda\) est valeur propre.

Pour localiser le spectre à partir d’une relation comme \(A^3 = 2A^2 – A\) : on écrit le polynôme annulateur \(P = X^3 – 2X^2 + X = X(X – 1)^2\), puis on conclut \(\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1\}\). Pour savoir quelles racines sont effectivement valeurs propres, on étudie les noyaux \(\ker(A – \lambda I_n)\).

L’endomorphisme \(u\) est inversible si et seulement si \(\pi_u(0) \neq 0\). Dans ce cas, \(u^{-1} \in \mathbb{K}[u]\). Précisément, si \(\pi_u = X Q + c\) avec \(c \neq 0\), alors \(u^{-1} = -\frac{1}{c} Q(u)\).

Soient \(P_1, \ldots, P_r\) des polynômes deux à deux premiers entre eux, et \(P = P_1 P_2 \cdots P_r\). Alors :

\[\ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \ker P_2(u) \oplus \cdots \oplus \ker P_r(u).\]

De plus, les projecteurs associés à cette décomposition sont des polynômes en \(u\).

Traitons \(r = 2\) ; une récurrence donne le cas général. Par le théorème de Bézout, il existe \(U, V\) tels que \(U P_1 + V P_2 = 1\). Évaluons en \(u\) : \(U(u) P_1(u) + V(u) P_2(u) = \mathrm{id}_E\). Soit \(x \in \ker P(u)\). Posons \(x_1 = V(u) P_2(u)(x)\) et \(x_2 = U(u) P_1(u)(x)\). D’abord, \(x = x_1 + x_2\). Ensuite, \(P_1(u)(x_1) = V(u) P(u)(x) = 0\), donc \(x_1 \in \ker P_1(u)\). De même, \(x_2 \in \ker P_2(u)\). Enfin, si \(x \in \ker P_1(u) \cap \ker P_2(u)\), la relation de Bézout donne \(x = 0\). La somme est donc directe.

Soit \(u\) tel que \(u^2 – 3u + 2\,\mathrm{id}_E = 0\). Les facteurs \(X – 1\) et \(X – 2\) sont premiers entre eux. Ainsi, \(E = \ker(u – \mathrm{id}_E) \oplus \ker(u – 2\,\mathrm{id}_E)\). La relation \(1 = (X – 1) – (X – 2)\) fournit les projecteurs : \(p_2 = u – \mathrm{id}_E\) projette sur \(\ker(u – 2\,\mathrm{id}_E)\), et \(p_1 = 2\,\mathrm{id}_E – u\) projette sur \(\ker(u – \mathrm{id}_E)\).

Pour appliquer le lemme des noyaux : 1) exhiber un polynôme annulateur ; 2) le factoriser en facteurs premiers entre eux ; 3) écrire \(E\) comme somme directe des noyaux ; 4) si besoin, obtenir les projecteurs par une relation de Bézout. Quand les racines \(\lambda_1, \ldots, \lambda_r\) sont simples, les polynômes d’interpolation de Lagrange \(L_i\) donnent directement les projecteurs \(p_i = L_i(u)\).

Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) \(u\) est diagonalisable ; (ii) \(u\) annule un polynôme simplement scindé ; (iii) \(\pi_u\) est simplement scindé. Dans ce cas, \(\pi_u = \prod_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} (X – \lambda)\).

(i) implique (ii) : dans une base de vecteurs propres, \(\prod_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} (X – \lambda)\) annule chaque vecteur de base. (ii) implique (i) : si \(P = \prod_{i=1}^{r} (X – \lambda_i)\) annule \(u\) avec les \(\lambda_i\) distincts, le lemme des noyaux donne \(E = \bigoplus_i \ker(u – \lambda_i\,\mathrm{id}_E)\). C’est une somme de sous-espaces propres (éventuellement nuls). Donc \(u\) est diagonalisable. Enfin, (ii) équivaut à (iii) car \(\pi_u\) divise tout polynôme annulateur, et un diviseur d’un polynôme simplement scindé l’est aussi.

Si \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) vérifie \(A^m = I_n\), alors \(X^m – 1\) annule \(A\). Ce polynôme a \(m\) racines distinctes dans \(\mathbb{C}\), donc \(A\) est diagonalisable. En revanche, sur \(\mathbb{R}\), la conclusion peut échouer : une rotation d’angle \(2\pi/3\) vérifie \(R^3 = I_2\) sans être diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

L’endomorphisme \(u\) est trigonalisable si et seulement s’il annule un polynôme scindé sur \(\mathbb{K}\), si et seulement si \(\pi_u\) est scindé. En particulier, tout endomorphisme d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable.

Soit \(F\) un sous-espace stable par \(u\), et \(u_F\) l’endomorphisme induit. Pour tout \(P\), on a \(P(u_F) = P(u)_F\). Par conséquent, \(\pi_{u_F}\) divise \(\pi_u\). En particulier, si \(u\) est diagonalisable (resp. trigonalisable), alors \(u_F\) l’est aussi.

Comme \(\pi_u(u) = 0\), sa restriction à \(F\) est nulle, donc \(\pi_u\) annule \(u_F\). Ainsi \(\pi_{u_F}\) divise \(\pi_u\). Si \(\pi_u\) est simplement scindé, son diviseur \(\pi_{u_F}\) l’est aussi, et \(u_F\) est diagonalisable. Le cas trigonalisable est identique.

Ce résultat est la clé de la codiagonalisation. Si \(u\) et \(v\) sont diagonalisables et commutent, chaque sous-espace propre de \(u\) est stable par \(v\). L’endomorphisme induit par \(v\) y est diagonalisable, ce qui fournit une base commune de vecteurs propres.

Le polynôme caractéristique annule l’endomorphisme : \(\chi_u(u) = 0\). De même, \(\chi_A(A) = 0\) pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Par conséquent, \(\pi_u\) divise \(\chi_u\) et \(\deg \pi_u \leq\, n\).

Soit \(x \neq 0\). Notons \(p\) le plus grand entier tel que \((x, u(x), \ldots, u^{p-1}(x))\) soit libre. Le sous-espace \(F\) qu’elle engendre est stable par \(u\), car \(u^p(x) = -\sum_{k=0}^{p-1} a_k u^k(x)\). Dans cette base, \(u_F\) a pour matrice la matrice compagnon de \(Q = X^p + \sum_{k=0}^{p-1} a_k X^k\). Un développement du déterminant selon la dernière colonne donne \(\chi_{u_F} = Q\). Or \(\chi_{u_F}\) divise \(\chi_u\), car la matrice de \(u\) dans une base adaptée à \(F\) est triangulaire par blocs. Enfin, \(Q(u)(x) = 0\) par construction. Donc \(\chi_u(u)(x) = 0\) pour tout \(x\).

En dimension 2, on a \(\chi_A = X^2 – \mathrm{tr}(A) X + \det(A)\). Ainsi, \(A^2 – \mathrm{tr}(A) A + \det(A) I_2 = 0\) pour toute \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\). Si \(\det A \neq 0\), on en déduit \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A) I_2 – A)\).

Pour calculer \(A^{-1}\) : on écrit \(\chi_A = X^n + c_{n-1}X^{n-1} + \cdots + c_1 X + c_0\), avec \(c_0 = (-1)^n \det A \neq 0\). Alors \(A^{-1} = -\frac{1}{c_0}(A^{n-1} + c_{n-1} A^{n-2} + \cdots + c_1 I_n)\). Pour calculer \(A^k\) : on effectue la division euclidienne \(X^k = P Q_k + R_k\) par un polynôme annulateur \(P\) de degré \(d\). Il vient \(A^k = R_k(A)\), avec \(\deg R_k < d\). On trouve les coefficients de \(R_k\) en évaluant aux racines de \(P\), et en dérivant aux racines multiples.

Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 -1 \\ 1 1 \end{pmatrix}\). On a \(\chi_A = X^2 – 4X + 4 = (X – 2)^2\). Écrivons \(X^k = (X – 2)^2 Q_k + a_k X + b_k\). En évaluant en 2, puis en dérivant et en évaluant en 2, on obtient \(2a_k + b_k = 2^k\) et \(a_k = k 2^{k-1}\). Donc \(A^k = k 2^{k-1} A + (1 – k) 2^k I_2\).

Le sous-espace caractéristique de \(u\) associé à \(\lambda_i\) est \(F_{\lambda_i} = \ker(u – \lambda_i\,\mathrm{id}_E)^{m_i}\). Il contient le sous-espace propre \(E_{\lambda_i}(u)\) et il est stable par \(u\).

Si \(\chi_u\) est scindé, alors \(E = F_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus F_{\lambda_r}\) et \(\dim F_{\lambda_i} = m_i\). De plus, l’endomorphisme induit par \(u\) sur \(F_{\lambda_i}\) s’écrit \(\lambda_i\,\mathrm{id} + n_i\), avec \(n_i\) nilpotent.

Les facteurs \((X – \lambda_i)^{m_i}\) sont premiers entre eux, et leur produit \(\chi_u\) annule \(u\) par Cayley-Hamilton. Le lemme des noyaux donne la somme directe. Ensuite, sur \(F_{\lambda_i}\), \(u – \lambda_i\,\mathrm{id}\) est nilpotent, donc l’induit \(u_i\) a pour seule valeur propre \(\lambda_i\). Ainsi, \(\chi_{u_i} = (X – \lambda_i)^{d_i}\) avec \(d_i = \dim F_{\lambda_i}\). Or \(\chi_u = \prod_i \chi_{u_i}\), puisque la matrice de \(u\) est diagonale par blocs. Par unicité de la factorisation, \(d_i = m_i\).

Si \(\chi_u\) est scindé, \(u\) est diagonalisable si et seulement si \(F_{\lambda_i} = E_{\lambda_i}(u)\) pour tout \(i\), c’est-à-dire si et seulement si \(\dim E_{\lambda_i}(u) = m_i\) pour tout \(i\).

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 2 \end{pmatrix}\). On a \(\chi_A = (X – 1)^2 (X – 2)\). Le sous-espace caractéristique \(F_1 = \ker(A – I_3)^2\) est le plan \(\mathrm{Vect}(e_1, e_2)\). En revanche, \(E_1 = \mathrm{Vect}(e_1)\) est seulement une droite. Par conséquent, \(A\) n’est pas diagonalisable, et \(\pi_A = (X – 1)^2 (X – 2)\).

La multiplicité de \(\lambda\) dans \(\pi_u\) n’est pas la dimension de \(F_\lambda\). C’est le plus petit entier \(k\) tel que \(\ker(u – \lambda\,\mathrm{id}_E)^k = F_\lambda\), autrement dit l’indice de nilpotence de \(u – \lambda\,\mathrm{id}\) sur \(F_\lambda\).