Séries numériques : cours de maths sup en PDF.

On appelle somme partielle d’indice \(n\) le nombre \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k\). La série de terme général \(u_n\), notée \(\sum u_n\), est la suite \((S_n)_{n \geq\, 0}\).

On dit que la série \(\sum u_n\) converge si la suite \((S_n)\) a une limite finie \(S\). Ce nombre s’appelle la somme de la série et se note \(\displaystyle S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n\). Dans le cas contraire, la série diverge. La nature d’une série, c’est le fait qu’elle converge ou qu’elle diverge.

Le symbole \(\sum u_n\) désigne un objet (la suite des sommes partielles) qui existe toujours. En revanche, le symbole \(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\) désigne un nombre. Vous n’avez le droit de l’écrire qu’après avoir justifié la convergence.

L’ensemble des séries convergentes est un espace vectoriel. Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent et si \(\lambda \in \mathbb{K}\), alors \(\sum (u_n + \lambda v_n)\) converge et

\[\sum_{n=0}^{+\infty} (u_n + \lambda v_n) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n + \lambda \sum_{n=0}^{+\infty} v_n.\]

De plus, la somme d’une série convergente et d’une série divergente est une série divergente.

La somme de deux séries divergentes peut converger. Par exemple, \(\sum 1\) et \(\sum (-1)\) divergent, mais leur somme est la série nulle. Ainsi, on ne découpe jamais une série en deux sans savoir que les deux morceaux convergent.

Si \(\sum u_n\) converge, de somme \(S\), le reste d’indice \(n\) est \(\displaystyle R_n = S – S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k\). La suite \((R_n)\) tend vers \(0\).

Si la série \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n \to 0\). Par contraposée, si \((u_n)\) ne tend pas vers \(0\), la série diverge : on dit qu’elle diverge grossièrement.

Pour \(n \geq\, 1\), on a \(u_n = S_n – S_{n-1}\). Or \((S_n)\) et \((S_{n-1})\) tendent toutes deux vers \(S\). Donc \(u_n \to S – S = 0\).

La réciproque est fausse. Le terme général de la série harmonique \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n}\) tend vers \(0\), et pourtant cette série diverge (voir la partie IV).

La série \(\sum n \sin\frac{1}{n}\) diverge grossièrement. En effet, \(\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}\), donc \(n \sin\frac{1}{n} \to 1 \neq 0\). De même, \(\sum (-1)^n\) diverge grossièrement, car son terme général n’a pas de limite.

La suite \((a_n)\) converge si et seulement si la série \(\sum (a_{n+1} – a_n)\) converge. Dans ce cas,

\[\sum_{n=0}^{+\infty} (a_{n+1} – a_n) = \lim_{n \to +\infty} a_n – a_0.\]

Une telle série s’appelle une série télescopique.

Pour \(n \geq\, 1\), on décompose \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\). Les termes se simplifient deux à deux :

\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 – \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{ 1.\]

Donc la série converge et \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1\).

Pour calculer la somme d’une série, cherchez à écrire \(u_n = a_{n+1} – a_n\). Les outils usuels sont la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle et les propriétés du logarithme, qui transforment un produit en somme. Écrivez ensuite la somme partielle, simplifiez, puis passez à la limite.

Soit \(q \in \mathbb{K}\). La série géométrique \(\sum q^n\) converge si et seulement si \(|q| < 1\). Dans ce cas,

\[\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \qquad \text{et} \qquad R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} q^k = \frac{q^{n+1}}{1-q}.\]

Si \(|q| \geq\, 1\), alors \(|q^n| \geq\, 1\), donc la série diverge grossièrement. Si \(|q| < 1\), alors \(q \neq 1\) et \(S_n = \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\). Or \(|q^{n+1}| = |q|^{n+1} \to 0\), donc \(S_n \to \frac{1}{1-q}\). Enfin, \(R_n = \frac{1}{1-q} – S_n = \frac{q^{n+1}}{1-q}\).

On a \(\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{1}{6}\). Par ailleurs, pour \(\theta \in \mathbb{R}\), la série \(\sum (\frac{e^{i\theta}}{2})^n\) converge, car \(|\frac{e^{i\theta}}{2}| = \frac{1}{2} < 1\).

Pour tout \(z \in \mathbb{C}\), la série \(\sum \frac{z^n}{n!}\) converge, et

\[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} = e^{z}.\]

Traitons le cas où \(z = x\) est réel. La fonction exponentielle est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\), et toutes ses dérivées sont égales à \(\exp\). L’inégalité de Taylor-Lagrange entre \(0\) et \(x\) donne donc

\[| e^{x} – \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} | \leq\, \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \, e^{|x|}.\]

Or \(\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0\) par croissances comparées. Ainsi, les sommes partielles tendent vers \(e^{x}\). Le cas complexe se traite de la même façon avec la fonction \(t \mapsto e^{tz}\) sur \([0, 1]\).

Avec \(z = 1\), on obtient \(e = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\). De même, \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1}\). Pour \(\theta\) réel, on obtient aussi \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{in\theta}}{n!} = e^{e^{i\theta}}\).

Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Sinon, \(S_n \to +\infty\).

Comme \(S_{n+1} – S_n = u_{n+1} \geq\, 0\), la suite \((S_n)\) est croissante. D’après le théorème de la limite monotone, elle converge si elle est majorée, et elle tend vers \(+\infty\) sinon.

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) positives.

• Comparaison : si \(0 \leq\, u_n \leq\, v_n\) à partir d’un certain rang et si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge. Par contraposée, si \(\sum u_n\) diverge, alors \(\sum v_n\) diverge.
• Domination : si \(u_n = O(v_n)\) et si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge. C’est le cas en particulier si \(u_n = o(v_n)\).
• Équivalents : si \(u_n \sim v_n\), alors les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature.

Pour la comparaison, supposons \(u_n \leq\, v_n\) pour \(n \geq\, n_0\). Alors, pour \(n \geq\, n_0\),

\[\sum_{k=n_0}^{n} u_k \leq\, \sum_{k=n_0}^{n} v_k \leq\, \sum_{k=n_0}^{+\infty} v_k.\]

Les sommes partielles de \(\sum u_n\) sont donc majorées. Ensuite, si \(u_n = O(v_n)\), il existe \(M > 0\) tel que \(u_n \leq\, M v_n\) à partir d’un certain rang. On applique alors la comparaison à \(\sum M v_n\). Enfin, si \(u_n \sim v_n\), on a \(\frac{1}{2} v_n \leq\, u_n \leq\, 2 v_n\) à partir d’un certain rang. Par conséquent, chaque série est dominée par l’autre.

Le critère des équivalents exige un signe constant (au moins à partir d’un certain rang). Il est faux pour des termes de signe quelconque, comme le montre l’exemple de la partie VI.

Pour trouver la nature de \(\sum u_n\) avec \(u_n \geq\, 0\) :

1. vérifiez d’abord que \(u_n \to 0\), sinon la série diverge grossièrement ;
2. cherchez un équivalent simple de \(u_n\) grâce aux équivalents usuels ou à un développement limité ;
3. comparez cet équivalent à une série de référence (géométrique ou de Riemann) ;
4. concluez en citant le critère des équivalents pour les séries à termes positifs.

Étudions \(\sum (1 – \cos\frac{1}{n})\). Le terme général est positif. De plus, \(1 – \cos\frac{1}{n} \sim \frac{1}{2n^2}\). Or la série \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge (partie IV). Donc la série étudiée converge.

Soit \(f\) continue et décroissante sur \([n_0, +\infty[\). Pour tout entier \(k \geq\, n_0 + 1\),

\[\int_{k}^{k+1} f(t)\,dt \leq\, f(k) \leq\, \int_{k-1}^{k} f(t)\,dt.\]

Par sommation, pour \(n \geq\, n_0 + 1\), on obtient l’encadrement

\[\int_{n_0+1}^{n+1} f(t)\,dt \leq\, \sum_{k=n_0+1}^{n} f(k) \leq\, \int_{n_0}^{n} f(t)\,dt.\]

Pour \(t \in [k, k+1]\), la décroissance donne \(f(k+1) \leq\, f(t) \leq\, f(k)\). On intègre sur un segment de longueur \(1\) par croissance de l’intégrale : \(\int_{k}^{k+1} f \leq\, f(k)\). De même, sur \([k-1, k]\), on a \(f(t) \geq\, f(k)\), d’où \(f(k) \leq\, \int_{k-1}^{k} f\). Enfin, on somme ces inégalités et on applique la relation de Chasles.

Pour encadrer une somme partielle ou un reste :

1. écrivez \(u_k = f(k)\) et justifiez la monotonie de \(f\) sur un intervalle \([n_0, +\infty[\) ;
2. écrivez l’encadrement élémentaire sur \([k, k+1]\) ou \([k-1, k]\) ;
3. sommez entre les bons indices, en surveillant les bornes ;
4. calculez les intégrales, puis déduisez-en un équivalent ou une majoration.

Si \(f\) est croissante, les inégalités sont simplement renversées.

Avec \(f(t) = \frac{1}{t}\), décroissante sur \([1, +\infty[\), on obtient pour \(n \geq\, 1\)

\[\ln(n+1) \leq\, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq\, 1 + \ln n.\]

Donc la série harmonique diverge, et sa somme partielle \(H_n\) vérifie \(H_n \sim \ln n\).

Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). La série de Riemann \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\).

Si \(\alpha \leq\, 0\), le terme général ne tend pas vers \(0\) : divergence grossière. Si \(0 < \alpha \leq\, 1\), on a \(\frac{1}{n^{\alpha}} \geq\, \frac{1}{n}\), et la série harmonique diverge. Donc la série diverge par comparaison.

Supposons enfin \(\alpha > 1\). La fonction \(t \mapsto t^{-\alpha}\) est décroissante sur \([1, +\infty[\). D’après l’encadrement précédent,

\[\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{\alpha}} \leq\, \int_{1}^{n} \frac{dt}{t^{\alpha}} = \frac{1 – n^{1-\alpha}}{\alpha – 1} \leq\, \frac{1}{\alpha – 1}.\]

Les sommes partielles sont majorées, donc la série converge.

Soit \((u_n)\) positive. S’il existe \(\alpha > 1\) tel que \(n^{\alpha} u_n \to 0\) (ou reste borné), alors \(\sum u_n\) converge. Si \(n u_n \to +\infty\) (ou \(n u_n\) est minoré par un réel \(c > 0\)), alors \(\sum u_n\) diverge.

La série \(\sum \frac{\ln n}{n^2}\) converge. En effet, \(n^{3/2} \cdot \frac{\ln n}{n^2} = \frac{\ln n}{\sqrt{n}} \to 0\), donc \(\frac{\ln n}{n^2} = o(\frac{1}{n^{3/2}})\), et \(\frac{3}{2} > 1\). De même, \(\sum e^{-\sqrt{n}}\) converge, car \(n^2 e^{-\sqrt{n}} \to 0\).

La série \(\sum u_n\) est absolument convergente si la série \(\sum |u_n|\) converge.

Toute série absolument convergente est convergente, et

\[| \sum_{n=0}^{+\infty} u_n | \leq\, \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|.\]

Traitons d’abord le cas réel. Posons \(u_n^{+} = \max(u_n, 0)\) et \(u_n^{-} = \max(-u_n, 0)\). Ces deux suites sont positives, majorées par \(|u_n|\), et \(u_n = u_n^{+} – u_n^{-}\). Par comparaison, \(\sum u_n^{+}\) et \(\sum u_n^{-}\) convergent. Donc \(\sum u_n\) converge, comme différence de deux séries convergentes. Dans le cas complexe, on applique ce résultat aux parties réelle et imaginaire, majorées en module par \(|u_n|\). Enfin, l’inégalité triangulaire sur les sommes partielles passe à la limite.

Soient \((u_n)\) une suite complexe et \((v_n)\) une suite positive. Si \(u_n = O(v_n)\) et si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) est absolument convergente, donc convergente.

Pour tout réel \(\theta\), la série \(\sum \frac{\cos(n\theta)}{n^2}\) converge absolument. En effet, \(|\frac{\cos(n\theta)}{n^2}| \leq\, \frac{1}{n^2}\), et la série de Riemann \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge.

La réciproque est fausse : une série peut converger sans converger absolument. On dit alors qu’elle est semi-convergente. L’exemple type est la série harmonique alternée \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\), étudiée ci-dessous.

Une série réelle \(\sum u_n\) est alternée si \(u_n = (-1)^n a_n\) avec \(a_n \geq\, 0\) pour tout \(n\) (ou \(u_n = (-1)^{n+1} a_n\)).

Théorème des séries alternées. Soit \((a_n)\) une suite positive, décroissante et de limite nulle. Alors la série \(\sum (-1)^n a_n\) converge. De plus, son reste \(R_n\) vérifie :

• \(R_n\) est du signe de son premier terme \((-1)^{n+1} a_{n+1}\) ;
• \(|R_n| \leq\, a_{n+1}\).

Enfin, la somme \(S\) est comprise entre deux sommes partielles consécutives.

On a \(S_{2n+2} – S_{2n} = a_{2n+2} – a_{2n+1} \leq\, 0\) et \(S_{2n+3} – S_{2n+1} = a_{2n+2} – a_{2n+3} \geq\, 0\). De plus, \(S_{2n} – S_{2n+1} = a_{2n+1} \to 0\). Les suites \((S_{2n})\) et \((S_{2n+1})\) sont donc adjacentes. Elles convergent vers une même limite \(S\), et ainsi \((S_n)\) converge vers \(S\).

Ensuite, pour tout \(n\), \(S_{2n+1} \leq\, S \leq\, S_{2n}\). Autrement dit, \(S\) est toujours entre \(S_n\) et \(S_{n+1}\). Par conséquent, \(|R_n| = |S – S_n| \leq\, |S_{n+1} – S_n| = a_{n+1}\), et \(R_n\) a le signe de \(S_{n+1} – S_n\).

Pour \(\alpha > 0\), la suite \((\frac{1}{n^{\alpha}})\) est positive, décroissante et tend vers \(0\). Donc \(\sum \frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\) converge. Pour \(0 < \alpha \leq\, 1\), cette convergence n’est pas absolue.

Pour obtenir une valeur approchée de \(S\) à \(\varepsilon\) près avec une série alternée, cherchez le premier rang \(n\) tel que \(a_{n+1} \leq\, \varepsilon\). Alors \(S_n\) convient. En outre, le signe du reste indique si \(S_n\) est une valeur approchée par défaut ou par excès.

Étudions \(\sum_{n \geq\, 2} u_n\) avec \(u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}\). On factorise par \(\sqrt{n}\), puis on utilise \(\frac{1}{1+x} = 1 – x + O(x^2)\) avec \(x = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) :

\[u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} – \frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^{3/2}}).\]

La série \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) converge d’après le théorème des séries alternées. De plus, la série des \(O(n^{-3/2})\) converge absolument. En revanche, \(\sum \frac{1}{n}\) diverge. Donc \(\sum u_n\) diverge. Pourtant, \(u_n \sim \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\), terme général d’une série convergente : les équivalents ne s’appliquent pas aux séries de signe variable.

Pour un terme général de signe variable, poussez le développement asymptotique jusqu’à obtenir un reste \(O(v_n)\) avec \(\sum v_n\) convergente et \(v_n \geq\, 0\). Étudiez ensuite chaque terme séparément : terme alterné (critère spécial), terme de signe constant (comparaison) et reste (convergence absolue). Enfin, concluez par linéarité.