Équations différentielles linéaires : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Équations homogènes du premier ordre

Résolvez les équations suivantes sur l’intervalle indiqué. Dans chaque cas, vérifiez votre résultat en dérivant.

1. \(y^{\prime} + 3y = 0\) sur \(\mathbb{R}\).
2. \(y^{\prime} = 2x\, y\) sur \(\mathbb{R}\).
3. \((1 + x^2)\, y^{\prime} + 2x\, y = 0\) sur \(\mathbb{R}\).
4. \(x\, y^{\prime} – 3y = 0\) sur \(]0, +\infty[\).
5. \(y^{\prime} + \tan(x)\, y = 0\) sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).
6. Déterminez la solution de l’équation de la question 4 qui vérifie \(y(2) = 16\).

Exercice 2 : Seconds membres usuels au premier ordre

Résolvez sur \(\mathbb{R}\) les équations suivantes, en cherchant une solution particulière de la même forme que le second membre.

1. \(y^{\prime} + 2y = 4x + 2\).
2. \(y^{\prime} – y = e^{2x}\).
3. \(y^{\prime} + y = e^{-x}\).
4. \(y^{\prime} + y = 2x + 3e^{-x}\), en utilisant le principe de superposition.
5. \(y^{\prime} – 2y = 5 \sin x\), en passant par l’équation complexe \(z^{\prime} – 2z = 5 e^{ix}\).

Exercice 3 : Un problème de Cauchy du premier ordre

On considère le problème de Cauchy \(y^{\prime} + y = \cos x\), \(y(0) = 1\), posé sur \(\mathbb{R}\).

1. Déterminez deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(x \mapsto \alpha \cos x + \beta \sin x\) soit solution de \(y^{\prime} + y = \cos x\).
2. Donnez la solution générale de cette équation.
3. Déterminez l’unique solution du problème de Cauchy.
4. Montrez que cette solution se rapproche, quand \(x \to +\infty\), d’une fonction périodique dont vous donnerez l’amplitude.

Exercice 4 : Variation de la constante

Résolvez les équations suivantes par la méthode de la variation de la constante.

1. \(x\, y^{\prime} – y = x^2\) sur \(]0, +\infty[\). Déterminez ensuite la solution telle que \(y(1) = 3\).
2. \(y^{\prime} + 2x\, y = x\, e^{-x^2}\) sur \(\mathbb{R}\).
3. \(\cos(x)\, y^{\prime} + \sin(x)\, y = 1\) sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\). Déterminez ensuite la solution telle que \(y(0) = 2\).

Exercice 5 : Coefficients variables et dérivée d’un produit

1. Vérifiez que, pour toute fonction \(y\) dérivable sur \(\mathbb{R}\), \(\big((1 + e^x)\, y\big)^{\prime} = (1 + e^x)\, y^{\prime} + e^x\, y\). Déduisez-en les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \((1 + e^x)\, y^{\prime} + e^x\, y = 1 + e^x\).
2. Vérifiez que la fonction \(g : x \mapsto \ln\big(x + \sqrt{1 + x^2}\big)\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(g^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\).
3. Résolvez sur \(\mathbb{R}\) l’équation \((1 + x^2)\, y^{\prime} + x\, y = 1\) par variation de la constante.
4. Déterminez la solution qui vérifie \(y(0) = 0\), puis montrez qu’elle est impaire.

Exercice 6 : Charge et décharge d’un condensateur

On étudie le circuit ci-dessous. Il comprend un générateur de tension constante \(E = 5\) V, une résistance \(R = 10\) k\(\Omega\) et un condensateur de capacité \(C = 100\) \(\mu\)F, initialement déchargé. À l’instant \(t = 0\), on ferme l’interrupteur K. On note \(u(t)\) la tension aux bornes du condensateur et \(i(t) = C u^{\prime}(t)\) l’intensité.

1. À l’aide de la loi des mailles \(E = R i + u\), établissez l’équation différentielle vérifiée par \(u\). Calculez la constante de temps \(\tau = RC\) en secondes.
2. Déterminez \(u(t)\) pour \(t \geq\, 0\).
3. À quel instant la tension atteint-elle \(99\,\%\) de sa valeur finale ? Donnez une valeur approchée.
4. Montrez que la tangente à la courbe de \(u\) en \(t = 0\) coupe l’asymptote en \(t = \tau\).
5. Le condensateur étant chargé sous la tension \(E\), on remplace le générateur par un fil à un nouvel instant pris comme origine des temps. Établissez la nouvelle équation, puis donnez \(u(t)\). Au bout de combien de temps la tension est-elle divisée par deux ?

Exercice 7 : Mélange dans une cuve

Une cuve de \(500\) litres contient au départ \(100\) litres d’eau pure. À partir de l’instant \(t = 0\), exprimé en minutes, on y verse \(2\) litres par minute d’eau salée à \(30\) grammes par litre. Simultanément, on soutire \(1\) litre par minute du mélange, que l’on suppose homogène à chaque instant. On note \(q(t)\) la masse de sel, en grammes, contenue dans la cuve.

1. Exprimez le volume \(V(t)\) de liquide dans la cuve. À quel instant la cuve est-elle pleine ?
2. Justifiez que \(q\) vérifie \(q^{\prime}(t) = 60 – \dfrac{q(t)}{100 + t}\) sur \([0, 400]\).
3. Résolvez cette équation avec la condition \(q(0) = 0\).
4. Calculez la concentration \(c(t) = q(t)/V(t)\) à l’instant \(t = 100\), puis au moment où la cuve est pleine.
5. Déterminez la limite de \(c(t)\) si la cuve était infiniment grande. Interprétez ce résultat.

Exercice 8 : Raccordement de solutions

Dans cet exercice, les équations ne sont pas normalisables en \(0\). On cherche des solutions dérivables sur \(\mathbb{R}\) tout entier.

1. Résolvez l’équation \(x\, y^{\prime} – 2y = 0\) sur \(]0, +\infty[\), puis sur \(]-\infty, 0[\).
2. Déterminez toutes les fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) solutions de \(x\, y^{\prime} – 2y = 0\).
3. Même question pour l’équation \(x\, y^{\prime} + y = 0\).
4. Montrez que le problème \(x\, y^{\prime} – 2y = 0\), \(y(0) = 0\) admet une infinité de solutions sur \(\mathbb{R}\), et que le problème \(x\, y^{\prime} – 2y = 0\), \(y(0) = 1\) n’en admet aucune. Pourquoi cela ne contredit-il pas le théorème de Cauchy ?

Exercice 9 : Équations homogènes du second ordre

Résolvez les équations suivantes sur \(\mathbb{R}\). Sauf mention contraire, on cherche les solutions à valeurs réelles.

1. \(y^{\prime\prime} – 5y^{\prime} + 6y = 0\).
2. \(y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y = 0\).
3. \(y^{\prime\prime} – 2y^{\prime} + 5y = 0\).
4. \(y^{\prime\prime} + 9y = 0\).
5. Déterminez les solutions à valeurs complexes de \(y^{\prime\prime} – 2y^{\prime} + 2y = 0\), puis retrouvez ses solutions réelles en prenant des parties réelles.
6. Déterminez les solutions à valeurs complexes de \(y^{\prime\prime} – 2i\, y^{\prime} – y = 0\).

Exercice 10 : Retrouver l’équation à partir des solutions

1. Déterminez les réels \(a\) et \(b\) tels que les fonctions \(x \mapsto e^{x}\) et \(x \mapsto x e^{x}\) soient toutes deux solutions de \(y^{\prime\prime} + a y^{\prime} + b y = 0\).
2. Déterminez les réels \(a\) et \(b\) tels que \(x \mapsto e^{-x} \cos(3x)\) soit solution de \(y^{\prime\prime} + a y^{\prime} + b y = 0\). Écrivez alors toutes les solutions réelles de cette équation.
3. Existe-t-il des réels \(a\) et \(b\) tels que \(x \mapsto e^{x}\), \(x \mapsto e^{2x}\) et \(x \mapsto e^{3x}\) soient toutes trois solutions de \(y^{\prime\prime} + a y^{\prime} + b y = 0\) ?

Exercice 11 : Second membre polynomial

Résolvez sur \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(y^{\prime\prime} + y^{\prime} – 2y = 2x^2\).
2. \(y^{\prime\prime} – y^{\prime} = x\). Expliquez pourquoi on cherche ici une solution particulière de degré \(2\).
3. \(y^{\prime\prime} + 4y = 8x^2\).

Exercice 12 : Second membre exponentiel et résonance

Résolvez sur \(\mathbb{R}\) les équations suivantes, en précisant à chaque fois si l’exposant du second membre est racine de l’équation caractéristique.

1. \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = e^{3x}\).
2. \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = e^{x}\).
3. \(y^{\prime\prime} – 4y^{\prime} + 4y = e^{2x}\).
4. Trouvez une solution particulière complexe de \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 2y = e^{(-1 + i)x}\). Déduisez-en les solutions réelles de \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 2y = e^{-x} \sin x\).

Exercice 13 : Second membre trigonométrique

1. Résolvez sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 2y = 5 \cos x\).
2. Déduisez du calcul précédent les solutions de \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 2y = 5 \sin x\).
3. Résolvez sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(y^{\prime\prime} + 4y = \sin(2x)\).
4. Comparez le comportement des solutions quand \(x \to +\infty\) dans les questions 1 et 3.

Exercice 14 : Principe de superposition

Résolvez sur \(\mathbb{R}\) les équations suivantes en découpant le second membre.

1. \(y^{\prime\prime} – y = 2x + 4e^{x} + 2\cos x\).
2. \(y^{\prime\prime} – y = \operatorname{ch} x\).
3. \(y^{\prime\prime} – y = \sin^2 x\). On pourra linéariser \(\sin^2 x\).

Exercice 15 : Problèmes de Cauchy du second ordre

Déterminez l’unique solution sur \(\mathbb{R}\) de chacun des problèmes suivants.

1. \(y^{\prime\prime} + y = x\), avec \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 0\).
2. \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 5y = 0\), avec \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 1\).
3. \(y^{\prime\prime} – 4y = 4\), avec \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 2\).
4. \(y^{\prime\prime} – 2y^{\prime} + y = e^{x}\), avec \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 1\).

Exercice 16 : Oscillateur amorti et ses trois régimes

Une masse \(m = 1\) kg glisse sur un support horizontal. Elle est reliée à un mur par un ressort de raideur \(k = 4\) N/m et subit une force de frottement fluide \(-h\, y^{\prime}\), où \(h > 0\) s’exprime en kg/s. On note \(y(t)\) l’écart à la position d’équilibre, en mètres. À l’instant \(t = 0\), on lâche la masse sans vitesse depuis \(y(0) = 1\).

1. À l’aide du principe fondamental de la dynamique, montrez que \(y^{\prime\prime} + h\, y^{\prime} + 4y = 0\).
2. Discutez, selon la valeur de \(h\), la nature des racines de l’équation caractéristique.
3. Déterminez \(y(t)\) pour \(h = 2\), pour \(h = 4\) et pour \(h = 5\).
4. Pour \(h = 2\), on note \(T = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}\). Calculez \(y(kT)\) pour tout entier naturel \(k\).
5. Pour \(h = 5\), montrez que la masse ne repasse jamais par la position d’équilibre.

Exercice 17 : Régime forcé d’un circuit RLC

Dans un circuit RLC alimenté par une tension sinusoïdale, et avec des unités bien choisies, la charge \(y\) du condensateur vérifie

\[y^{\prime\prime} + y^{\prime} + y = \cos(\omega t),\]

où \(\omega > 0\) est la pulsation imposée par le générateur.

1. Résolvez l’équation homogène. Montrez que toutes ses solutions tendent vers \(0\) en \(+\infty\).
2. Déterminez une solution particulière \(y_\omega\) de la forme \(t \mapsto \operatorname{Re}\big(K e^{i\omega t}\big)\), avec \(K \in \mathbb{C}\). Exprimez son amplitude \(A(\omega) = |K|\).
3. Montrez que, pour toute solution \(y\), on a \(y(t) – y_\omega(t) \to 0\) quand \(t \to +\infty\). Interprétez.
4. Étudiez les variations de \(A\) sur \(]0, +\infty[\). Pour quelle pulsation l’amplitude est-elle maximale ?
5. Explicitez \(y_\omega\) lorsque \(\omega = 1\).

Exercice 18 : Unicité et comparaison des solutions

Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I\), et \((E) : y^{\prime} + a(x) y = b(x)\).

1. Montrez qu’une solution de l’équation homogène qui s’annule en un point de \(I\) est nulle sur \(I\).
2. Soient \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions réelles de \((E)\) telles que \(y_1(x_0) < y_2(x_0)\) pour un \(x_0 \in I\). Montrez que \(y_1(x) < y_2(x)\) pour tout \(x \in I\).
3. Soit \(y\) la solution sur \(\mathbb{R}\) de \(y^{\prime} + y = x^2\) telle que \(y(0) = 1\). Vérifiez que \(x \mapsto x^2 – 2x + 2\) est solution de l’équation. Sans calculer \(y\), montrez que \(y(x) < x^2 – 2x + 2\) pour tout réel \(x\). Contrôlez ensuite en calculant \(y\).
4. Montrez que deux solutions de \(y^{\prime\prime} + y = 0\) peuvent avoir des courbes qui se coupent sans être égales. Quelle condition supplémentaire assure l’égalité de deux solutions d’une équation du second ordre ?

Exercice 19 : Équation d’Euler par changement de variable

On veut résoudre sur \(]0, +\infty[\) l’équation \((E) : x^2 y^{\prime\prime} – 2x\, y^{\prime} + 2y = x^3\). Pour une fonction \(y\) deux fois dérivable sur \(]0, +\infty[\), on pose \(z(t) = y(e^t)\) pour \(t \in \mathbb{R}\).

1. Exprimez \(y^{\prime}(x)\) et \(y^{\prime\prime}(x)\) à l’aide de \(z^{\prime}(\ln x)\) et \(z^{\prime\prime}(\ln x)\).
2. Montrez que \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(z\) est solution de \(z^{\prime\prime} – 3z^{\prime} + 2z = e^{3t}\).
3. Résolvez cette dernière équation, puis déduisez-en les solutions de \((E)\).
4. Déterminez la solution de \((E)\) telle que \(y(1) = 0\) et \(y^{\prime}(1) = 0\).

Exercice 20 : Équations fonctionnelles

1. Déterminez toutes les fonctions \(f\) continues sur \(\mathbb{R}\) telles que, pour tout réel \(x\), \(f(x) = 1 + \displaystyle\int_0^x \big(f(t) + t\big)\, dt\).
2. Déterminez toutes les fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f^{\prime}(x) = f(-x)\) pour tout réel \(x\).

Exercice 21 : Problème : battements et résonance

Soient \(\omega > 0\) et \(\Omega > 0\) deux réels distincts. On étudie le problème de Cauchy

\[(P_\Omega) : \quad y^{\prime\prime} + \omega^2 y = \cos(\Omega t), \qquad y(0) = 0, \quad y^{\prime}(0) = 0.\]

1. Montrez que l’unique solution de \((P_\Omega)\) est \(y_\Omega(t) = \dfrac{\cos(\Omega t) – \cos(\omega t)}{\omega^2 – \Omega^2}\).
2. Écrivez \(y_\Omega(t)\) sous la forme d’un produit de deux sinus.
3. On prend \(\omega = 10\) et \(\Omega = 9\). Décrivez l’allure de \(y_\Omega\) : pulsation rapide, enveloppe, amplitude maximale et période de l’enveloppe. Ce phénomène s’appelle les battements.
4. Pour \(t\) fixé, calculez \(\lim\limits_{\Omega \to \omega} y_\Omega(t)\).
5. Résolvez directement le problème de Cauchy \(y^{\prime\prime} + \omega^2 y = \cos(\omega t)\), \(y(0) = y^{\prime}(0) = 0\), et comparez avec la question précédente.
6. Montrez que chaque \(y_\Omega\) est bornée sur \(\mathbb{R}\), alors que la solution de la question 5 ne l’est pas.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : équations différentielles linéaires, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Nombres complexes et exponentielle complexe, Primitives et calcul intégral
• Chapitre précédent : Primitives et calcul intégral
• Chapitre suivant : Nombres réels et suites numériques
• Le même thème en L1 : équations différentielles, exercices de maths en L1
• Le même thème en maths spé : équations différentielles linéaires, exercices de maths spé
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé