Topologie de R^n : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Calcul des normes usuelles

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(x = (3, -4, 12)\) et \(y = (1, 2, -2)\).

1. Calculer \(\|x\|_1\), \(\|x\|_2\), \(\|x\|_\infty\), puis \(\|y\|_1\), \(\|y\|_2\), \(\|y\|_\infty\).
2. Calculer les trois normes de \(x + y\) et vérifier l’inégalité triangulaire pour chacune.
3. Sans nouveau calcul de coordonnées, donner les trois normes de \(-2x\).
4. Déterminer l’ensemble des vecteurs \(v \in \mathbb{R}^2\) tels que \(\|v\|_1 = \|v\|_\infty\).

Exercice 2 : Distances et appartenance à des boules

Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(a = (1, 2)\), \(b = (4, -2)\) et \(c = (2 \, ; 3{,}5)\). On note \(d_1\), \(d_2\), \(d_\infty\) les distances associées aux trois normes usuelles, et \(B_1\), \(B_2\), \(B_\infty\) les boules ouvertes correspondantes.

1. Calculer \(d_1(a, b)\), \(d_2(a, b)\) et \(d_\infty(a, b)\).
2. Le point \(c\) appartient-il à \(B_1(a, 2)\) ? à \(B_2(a, 2)\) ? à \(B_\infty(a, 2)\) ?
3. Décrire géométriquement la sphère \(S_\infty(a, 1)\).
4. Soit \(m\) le milieu de \([a, b]\). Vérifier que \(d(a, m) = d(m, b) = \frac{1}{2} d(a, b)\) pour chacune des trois distances, puis le démontrer pour une norme quelconque.

Exercice 3 : Des applications qui ne sont pas des normes

Pour chacune des applications suivantes de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}_+\), dire si c’est une norme. Justifier par une preuve ou par un contre-exemple.

1. \(N_1(x, y) = |x|\).
2. \(N_2(x, y) = x^2 + y^2\).
3. \(N_3(x, y) = \big(\sqrt{|x|} + \sqrt{|y|}\big)^2\).
4. \(N_4(x, y) = \max(|x|, |x – y|)\).

Exercice 4 : Une norme définie par valeurs absolues

Pour \(v = (x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(v) = |2x + y| + |x – y|\).

1. Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrer que, pour tous réels \(a\) et \(b\), \(|a| + |b| = \max(|a + b|, |a – b|)\). En déduire que \(N(x, y) = \max(3|x|, |x + 2y|)\).
3. Représenter la boule unité fermée de \(N\) et donner ses sommets.
4. Déterminer les meilleures constantes \(\alpha\) et \(\beta\) telles que \(\alpha \|v\|_\infty \leq\, N(v) \leq\, \beta \|v\|_\infty\) pour tout \(v\).

Exercice 5 : Une norme euclidienne sur R^2

Pour \(u = (x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(u) = \sqrt{x^2 + xy + y^2}\).

1. Montrer que \(x^2 + xy + y^2 = \big(x + \frac{y}{2}\big)^2 + \frac{3}{4}y^2\). En déduire que \(N\) est bien définie et que \(N(u) = 0\) implique \(u = 0\).
2. Pour \(u = (x, y)\) et \(u^{\prime} = (x^{\prime}, y^{\prime})\), on pose \(\varphi(u, u^{\prime}) = x x^{\prime} + \frac{1}{2}(x y^{\prime} + x^{\prime} y) + y y^{\prime}\). Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire et que \(N(u) = \sqrt{\varphi(u, u)}\). En déduire que \(N\) est une norme.
3. Montrer que \(\frac{1}{\sqrt{2}} \|u\|_2 \leq\, N(u) \leq\, \sqrt{\frac{3}{2}} \|u\|_2\) et que ces constantes sont optimales.
4. Montrer que la sphère unité de \(N\) coupe la droite \(y = x\) en deux points à distance euclidienne \(\sqrt{2/3}\) de l’origine, et la droite \(y = -x\) en deux points à distance \(\sqrt{2}\).

Exercice 6 : Comparaison des normes 1, 2 et infini

Soit \(n \geq\, 2\) et \(x \in \mathbb{R}^n\).

1. Montrer que \(\|x\|_\infty \leq\, \|x\|_2 \leq\, \|x\|_1\).
2. Montrer que \(\|x\|_1 \leq\, \sqrt{n}\,\|x\|_2\) et que \(\|x\|_2 \leq\, \sqrt{n}\,\|x\|_\infty\).
3. En déduire que \(\|x\|_1 \leq\, n \|x\|_\infty\).
4. Montrer que chacune des constantes \(1\), \(\sqrt{n}\) et \(n\) obtenues est optimale, en précisant un cas d’égalité.

Exercice 7 : Boules des trois normes dans le plan

Dans \(\mathbb{R}^2\), on note \(B_1\), \(B_2\), \(B_\infty\) les boules fermées des trois normes usuelles.

1. Représenter sur un même dessin \(B_1(0, 1)\), \(B_2(0, 1)\) et \(B_\infty(0, 1)\).
2. Démontrer que \(B_1(0, 1) \subset B_2(0, 1) \subset B_\infty(0, 1)\).
3. Déterminer le plus grand réel \(r > 0\) tel que \(B_\infty(0, r) \subset B_1(0, 1)\).
4. Déterminer le plus grand réel \(r > 0\) tel que \(B_2(0, r) \subset B_1(0, 1)\).

Exercice 8 : Parties bornées du plan et de l’espace

Dire si chacune des parties suivantes est bornée, en justifiant.

1. \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + xy + y^2 \leq\, 3\}\).
2. \(B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 1\}\).
3. \(C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^4 + y^4 \leq\, 1\}\).
4. \(D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid |x – y| \leq\, 1\}\).
5. \(E = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 \leq\, z \leq\, 1\}\).
6. Expliquer pourquoi la réponse ne dépend pas de la norme choisie.

Exercice 9 : Limites de suites de R^3

Étudier la convergence des suites suivantes, définies pour \(k \geq\, 1\), et donner leur limite éventuelle.

1. \(u_k = \Big(\big(1 + \frac{1}{k}\big)^k, \ k \sin\frac{1}{k}, \ \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\Big)\).
2. \(v_k = \Big(\cos\frac{k\pi}{2}, \ \frac{1}{k}, \ 0\Big)\).
3. \(w_k = \Big(\frac{2k + 1}{k + 3}, \ k^5 e^{-k}, \ \ln\big(1 + \frac{1}{k}\big)\Big)\).
4. Pour la suite \((u_k)\), vérifier que \(\|u_k – \ell\|_\infty \to 0\), où \(\ell\) est la limite trouvée. Que dire de \(\|u_k – \ell\|_1\) ?

Exercice 10 : Une suite récurrente dans le plan

On définit une suite \(u_k = (x_k, y_k)\) de \(\mathbb{R}^2\) par \(u_0 = (4, -2)\) et, pour tout \(k \in \mathbb{N}\) :

\[x_{k+1} = \frac{x_k}{2} + \frac{y_k}{4}, \qquad y_{k+1} = \frac{x_k}{4} + \frac{y_k}{2}.\]

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
2. Montrer que \(\|u_{k+1}\|_\infty \leq\, \frac{3}{4}\|u_k\|_\infty\) pour tout \(k\). En déduire que \((u_k)\) converge vers \((0, 0)\), et majorer \(\|u_k\|_2\).
3. On pose \(s_k = x_k + y_k\) et \(d_k = x_k – y_k\). Exprimer \(s_{k+1}\) et \(d_{k+1}\) en fonction de \(s_k\) et \(d_k\), puis donner \(x_k\) et \(y_k\) en fonction de \(k\).
4. Montrer que \(\dfrac{u_k}{\|u_k\|_2}\) converge et donner sa limite. Interpréter.

Exercice 11 : Normes non équivalentes en dimension infinie

Cet exercice sort du cadre de \(\mathbb{R}^n\) ; il montre le rôle de la dimension finie. Sur l’espace \(\mathbb{R}[X]\) des polynômes réels, on pose, pour \(P = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k\) :

\[N_1(P) = \sum_{k=0}^{d} |a_k|, \qquad N_\infty(P) = \max_{0 \leq\, k \leq\, d} |a_k|.\]

1. Justifier brièvement que \(N_1\) et \(N_\infty\) sont des normes sur \(\mathbb{R}[X]\).
2. Montrer que \(N_\infty(P) \leq\, N_1(P)\) pour tout \(P\).
3. On pose \(P_m = 1 + X + \cdots + X^m\). Calculer \(N_1(P_m)\) et \(N_\infty(P_m)\). En déduire qu’il n’existe aucune constante \(C\) telle que \(N_1 \leq\, C N_\infty\).
4. On pose \(Q_m = \frac{1}{m} P_{m-1}\) pour \(m \geq\, 1\). Montrer que \((Q_m)\) tend vers \(0\) pour \(N_\infty\) mais pas pour \(N_1\).

Exercice 12 : Ouverts et fermés du plan

On considère les parties suivantes de \(\mathbb{R}^2\), représentées sur la figure ci-dessous (bord en pointillés s’il est exclu, en trait plein s’il est inclus) :

\[A = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 < 4,\ y > 0\}, \quad B = \{(x, y) \mid y \geq\, x^2\}, \quad C = \{(x, y) \mid 0 < x \leq\, 1\}.\]

1. Montrer que \(A\) est ouverte en exhibant, pour chaque point, une boule incluse dans \(A\).
2. Montrer que \(B\) est fermée à l’aide de la caractérisation séquentielle.
3. Montrer que \(C\) n’est ni ouverte ni fermée.
4. Montrer que \(\mathbb{Z}^2\) est une partie fermée de \(\mathbb{R}^2\). Est-elle ouverte ?

Exercice 13 : Réunions et intersections infinies

1. Pour \(k \geq\, 1\), on pose \(F_k = [\frac{1}{k}, 1] \times [0, 1]\). Montrer que chaque \(F_k\) est fermé, puis déterminer \(\bigcup_{k \geq\, 1} F_k\). Cette réunion est-elle fermée ?
2. Pour \(k \geq\, 1\), on pose \(U_k = B_2(0, 1 + \frac{1}{k})\), boule ouverte de \(\mathbb{R}^2\). Déterminer \(\bigcap_{k \geq\, 1} U_k\). Cette intersection est-elle ouverte ?
3. Démontrer qu’une intersection de deux ouverts de \(\mathbb{R}^n\) est un ouvert. Où l’argument échoue-t-il pour une intersection infinie ?

Exercice 14 : Boules ouvertes, boules fermées et sphères

Soit \(N\) une norme quelconque sur \(\mathbb{R}^n\), \(a \in \mathbb{R}^n\) et \(r > 0\).

1. Montrer que la boule ouverte \(B(a, r)\) est un ouvert.
2. Montrer que la boule fermée \(B_f(a, r)\) est un fermé, en utilisant la caractérisation séquentielle.
3. En déduire que la sphère \(S(a, r)\) est un fermé.
4. Montrer qu’un singleton, puis toute partie finie de \(\mathbb{R}^n\), est fermé.

Exercice 15 : Intérieur, adhérence et frontière de parties du plan

Déterminer l’intérieur, l’adhérence et la frontière de chacune des parties suivantes de \(\mathbb{R}^2\).

1. \(A = [0, 1[ \times ]0, 1]\).
2. \(B = \{(x, y) \mid 0 < x^2 + y^2 \leq\, 1\}\).
3. \(C = \mathbb{Q}^2\).
4. \(D = \{(\frac{1}{k}, 0) \mid k \in \mathbb{N},\ k \geq\, 1\}\).

Exercice 16 : Adhérence et intérieur d’une boule

Soit \(N\) une norme sur \(\mathbb{R}^n\), \(a \in \mathbb{R}^n\) et \(r > 0\).

1. Montrer que \(\overline{B(a, r)} = B_f(a, r)\).
2. Montrer que l’intérieur de \(B_f(a, r)\) est \(B(a, r)\).
3. En déduire la frontière de \(B(a, r)\) et celle de \(B_f(a, r)\).

Exercice 17 : Propriétés de la frontière

Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}^n\) et \(A^c = \mathbb{R}^n \setminus A\) son complémentaire. On admet que \(\overline{A^c}\) est le complémentaire de \(\mathring{A}\).

1. Montrer que \(\mathrm{Fr}(A) = \overline{A} \cap \overline{A^c}\). En déduire que \(\mathrm{Fr}(A)\) est fermée et que \(\mathrm{Fr}(A) = \mathrm{Fr}(A^c)\).
2. Montrer que \(A\) est ouverte si et seulement si \(A \cap \mathrm{Fr}(A) = \emptyset\).
3. Montrer que \(A\) est fermée si et seulement si \(\mathrm{Fr}(A) \subset A\).
4. Montrer qu’un point \(a\) est dans \(\mathrm{Fr}(A)\) si et seulement s’il existe une suite de \(A\) et une suite de \(A^c\) qui convergent toutes deux vers \(a\).

Exercice 18 : Graphe d’une fonction et caractérisation séquentielle

1. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue. Montrer que son graphe \(\Gamma_f = \{(x, f(x)) \mid x \in \mathbb{R}\}\) est fermé dans \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrer que le graphe \(H = \{(x, \frac{1}{x}) \mid x > 0\}\) est fermé dans \(\mathbb{R}^2\), bien que \(]0, +\infty[\) ne soit pas fermé dans \(\mathbb{R}\).
3. On considère \(G = \{(x, \sin\frac{1}{x}) \mid x > 0\}\), dessinée ci-dessous. Soit \(c \in [-1, 1]\). Construire une suite \((x_k)\) de réels strictement positifs, de limite \(0\), telle que \(\sin\frac{1}{x_k} = c\) pour tout \(k\). En déduire que \(G\) n’est pas fermée.
4. Déterminer \(\overline{G}\).

Exercice 19 : Parties compactes du plan

Dire si chacune des parties suivantes de \(\mathbb{R}^2\) est compacte, en justifiant.

1. \(A = \{(x, y) \mid x^2 + 2y^2 \leq\, 4\}\).
2. \(B = \{(x, y) \mid xy = 1\}\).
3. \(C = \{(x, y) \mid x^2 + y^4 = 1\}\).
4. \(D = \{(\frac{1}{k}, \frac{1}{k}) \mid k \geq\, 1\} \cup \{(0, 0)\}\), puis \(D^{\prime} = D \setminus \{(0, 0)\}\).
5. \(E = [0, 1] \times [0, 1[\).

Exercice 20 : Suites extraites et Bolzano-Weierstrass

Pour \(k \in \mathbb{N}\), on pose \(u_k = \big((-1)^k, \cos\frac{k\pi}{3}\big) \in \mathbb{R}^2\).

1. Calculer \(u_0, \ldots, u_5\) et vérifier que \(u_{k+6} = u_k\).
2. Déterminer les limites possibles des suites extraites convergentes de \((u_k)\).
3. La suite \((u_k)\) converge-t-elle ?
4. On pose \(v_k = (\cos k, \sin k)\). Justifier que \((v_k)\) admet une suite extraite convergente et que sa limite appartient au cercle unité.

Exercice 21 : Distance à une partie fermée

On munit \(\mathbb{R}^n\) de la norme euclidienne. Pour une partie non vide \(A\) et \(x \in \mathbb{R}^n\), on pose \(d(x, A) = \inf_{a \in A} \|x – a\|_2\).

1. Montrer que \(|d(x, A) – d(y, A)| \leq\, \|x – y\|_2\) pour tous \(x, y\).
2. Montrer que \(d(x, A) = 0\) si et seulement si \(x \in \overline{A}\).
3. On suppose \(A\) fermée. Montrer qu’il existe \(a_0 \in A\) tel que \(d(x, A) = \|x – a_0\|_2\).
4. Dans \(\mathbb{R}^2\), soit \(P = \{(t, t^2) \mid t \in \mathbb{R}\}\) et \(x_0 = (0, 2)\). Justifier que \(P\) est fermée, puis calculer \(d(x_0, P)\) et les points de \(P\) qui réalisent cette distance.
5. Soit \(A = B_2(0, 1)\), boule ouverte de \(\mathbb{R}^2\), et \(x = (2, 0)\). Calculer \(d(x, A)\). Cette distance est-elle atteinte ?

Exercice 22 : Problème : équivalence des normes en dimension finie

Soit \(N\) une norme quelconque sur \(\mathbb{R}^n\) et \((e_1, \ldots, e_n)\) la base canonique. On pose \(\beta = \max_{1 \leq\, i \leq\, n} N(e_i)\).

1. Montrer que \(N(x) \leq\, \beta \|x\|_1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\).
2. Montrer que \(|N(x) – N(y)| \leq\, \beta \|x – y\|_1\). En déduire que si \(u_k \to x\) pour \(\|\cdot\|_1\), alors \(N(u_k) \to N(x)\).
3. Montrer que \(S = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\|_1 = 1\}\) est une partie compacte de \((\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_1)\).
4. On pose \(\alpha = \inf_{x \in S} N(x)\). Montrer que cette borne inférieure est atteinte, puis que \(\alpha > 0\).
5. En déduire que \(\alpha \|x\|_1 \leq\, N(x) \leq\, \beta \|x\|_1\) pour tout \(x\), puis que toutes les normes sur \(\mathbb{R}^n\) sont équivalentes.
6. Application : pour \(N(x, y) = |2x + y| + |x – y|\) sur \(\mathbb{R}^2\), calculer \(\beta\) et \(\alpha\). On pourra utiliser l’expression \(N(x, y) = \max(3|x|, |x + 2y|)\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : topologie de R^n, cours de maths en L2
• Chapitre précédent : Groupes, sous-groupes et morphismes
• Chapitre suivant : Plusieurs variables : limites et dérivées partielles
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3