Ce QCM vérifie la maîtrise des intégrales dépendant d’un paramètre en L2 : continuité et dérivation sous le signe intégrale, hypothèse de domination, fonction Gamma, intégrale de Gauss et premiers exemples de transformée de Laplace. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Intégrales dépendant d’un paramètre du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Intégrales à paramètre - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Pour montrer que \(F(x) = \int_I f(x, t)\,dt\) est continue sur \(A\), avec \(I\) intervalle quelconque (éventuellement non borné), quelle hypothèse de domination est requise (en plus de la continuité de \(f\) par rapport à \(x\)) ?
A\(f\) est bornée sur \(A \times I\).
B\(|f(x, t)| \leqslant \varphi(t)\) pour tous \(x \in A\), \(t \in I\), avec \(\varphi\) intégrable sur \(I\).
CPour chaque \(x \in A\), \(t \mapsto f(x, t)\) est intégrable sur \(I\).
D\(|f(x, t)| \leqslant \varphi(x)\) pour tous \(x\), \(t\), avec \(\varphi\) continue.
Sachant que \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\), que vaut \(\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\) ?
A\(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
B\(2\sqrt{\pi}\)
C\(\sqrt{\pi}\)
D\(\frac{3\sqrt{\pi}}{2}\)
Question 5
Pour \(x > 0\), que vaut \(\int_0^{+\infty} e^{-x t^2}\,dt\) ?
A\(\frac{\sqrt{\pi}}{2x}\)
B\(\sqrt{\frac{\pi}{x}}\)
C\(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{x}}\)
D\(\frac{1}{2}\sqrt{\pi x}\)
Question 6
En dérivant \(\int_0^{+\infty} e^{-xt}\,dt = \frac{1}{x}\) sous le signe intégrale, que vaut \(\int_0^{+\infty} t^2 e^{-xt}\,dt\) pour \(x > 0\) ?
A\(\frac{1}{x^3}\)
B\(\frac{2}{x^3}\)
C\(-\frac{2}{x^3}\)
D\(\frac{2}{x^2}\)
Question 7
Quelle est la transformée de Laplace \(\int_0^{+\infty} \sin(t)\,e^{-pt}\,dt\) pour \(p > 0\) ?
A\(\frac{p}{p^2 + 1}\)
B\(\frac{1}{p^2 - 1}\)
C\(\frac{1}{p + 1}\)
D\(\frac{1}{p^2 + 1}\)
Question 8
Pour établir la continuité de \(\Gamma\) sur \(]0, +\infty[\), sur quel type de partie établit-on l’hypothèse de domination ?
ASur tout segment \([a, b] \subset ]0, +\infty[\)
BSur \(]0, +\infty[\) tout entier
CSur un voisinage de \(0\) seulement
DSur \([1, +\infty[\) seulement
Question 9
Soit \(F(x) = \int_0^{+\infty} x\,e^{-xt}\,dt\) pour \(x \geqslant 0\). Que peut-on dire de \(F\) ?
A\(F(x) = x\) pour tout \(x \geqslant 0\).
B\(F\) est continue sur \([0, +\infty[\) car l’intégrande est continue en \((x, t)\).
C\(F\) n’est définie qu’en \(x = 0\).
D\(F\) vaut \(1\) sur \(]0, +\infty[\) et \(0\) en \(0\) : elle n’est pas continue en \(0\).
Question 10
Quelle équation différentielle vérifie \(F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\cos(xt)\,dt\) ?
A\(F'(x) = \frac{x}{2}F(x)\)
B\(F'(x) = -2x\,F(x)\)
C\(F'(x) = -\frac{x}{2}F(x)\)
D\(F''(x) + F(x) = 0\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de intégrales à paramètre en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
l’hypothèse de domination : \(|f(x, t)| \leq\, \varphi(t)\) avec \(\varphi\) intégrable et indépendante de \(x\) ;
la continuité d’une intégrale à paramètre, avec domination sur tout segment ;
la dérivation sous le signe intégrale et l’équation différentielle obtenue ;
la fonction Gamma : domaine, relation \(\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x)\), valeurs remarquables ;
l’intégrale de Gauss et la transformée de Laplace de fonctions usuelles.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : proposer un dominant qui dépend du paramètre. Écrire \(|e^{-xt}| \leq\, e^{-xt}\) ne domine rien : il faut une fonction de \(t\) seul, par exemple \(e^{-at}\) pour \(x \geq\, a > 0\).
Comment réviser avant de refaire le test
Quand la domination globale échoue près d’une borne du domaine du paramètre, dominez sur chaque segment \([a, b]\) intérieur : continuité et dérivabilité sont des propriétés locales, donc cela suffit. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Pourquoi ces théorèmes préparent-ils ceux de Lebesgue ?
En L3, le théorème de convergence dominée de Lebesgue généralise ces énoncés : la même hypothèse de domination par une fonction intégrable indépendante du paramètre permet d’intervertir limite et intégrale, sans exiger la continuité par morceaux.
Comment trouver l’équation différentielle vérifiée par une intégrale à paramètre ?
On dérive sous l’intégrale, puis on fait une intégration par parties en \(t\) pour faire réapparaître l’intégrale de départ ; par exemple \(F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\cos(xt)\,dt\) vérifie \(F’ = -\frac{x}{2}F\).
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