Fonctions de deux variables : QCM de maths sup corrigé

Sommaire

Ce QCM de maths sup porte sur les fonctions de deux variables : dérivées partielles, gradient, plan tangent, dérivée selon un vecteur, règle de la chaîne et recherche des extremums. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Fonctions de deux variables du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Fonctions de deux variables - QCM de maths sup

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Soit \(f(x, y) = x^2 y + e^{xy}\). Que vaut \(\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\) ?

A \(2xy + x\,e^{xy}\)

B \(2xy + e^{xy}\)

C \(2xy + y\,e^{xy}\)

D \(x^2 + x\,e^{xy}\)

Question 2

Soit \(f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2\). Que vaut \(\nabla f(1, 2)\) ?

A \((8, -1)\)

B \((2, -4)\)

C \((8, 1)\)

D \((5, -1)\)

Question 3

Quelle est l’équation du plan tangent à la surface \(z = x^2 + y^2\) au point \((1, 1, 2)\) ?

A \(z = 2x + 2y - 4\)

B \(z = 2x + 2y - 2\)

C \(z = x + y\)

D \(z = 2x + 2y\)

Question 4

On pose \(f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}\) pour \((x, y) \neq (0,0)\) et \(f(0,0) = 0\). En \((0,0)\), la fonction \(f\) :

A n’admet pas de dérivées partielles

B est de classe \(C^1\)

C admet des dérivées partielles mais n’est pas continue

D est continue mais n’admet pas de dérivées partielles

Question 5

Quels sont les points critiques de \(f(x, y) = x^3 - 3x + y^2\) ?

A \((1, 0)\), \((-1, 0)\) et \((0, 0)\)

B \((1, 0)\) et \((-1, 0)\)

C \((1, 0)\) seulement

D \((0, 0)\) seulement

Question 6

En son point critique \((-1, 0)\), la fonction \(f(x, y) = x^3 - 3x + y^2\) présente :

A un maximum local

B un minimum global

C un minimum local

D aucun extremum local

Question 7

La fonction \(f(x, y) = x + y\) atteint sur le carré \([0, 1]^2\) un maximum en \((1, 1)\), où \(\nabla f = (1, 1) \neq (0,0)\). Pourquoi n’est-ce pas contradictoire ?

A le théorème ne concerne que les minimums

B \((1, 1)\) n’est pas intérieur au carré, or le théorème suppose un ouvert

C \(f\) n’est pas de classe \(C^1\) sur le carré

D un maximum atteint en \((1, 1)\) n’est pas un maximum local

Question 8

Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) et \(g(t) = f(t^2, e^t)\). Que vaut \(g'(t)\) ?

A \(2t\,e^t\,\partial_1 f(t^2, e^t)\,\partial_2 f(t^2, e^t)\)

B \(\partial_1 f(t^2, e^t) + \partial_2 f(t^2, e^t)\)

C \(2t\,\partial_1 f(t, t) + e^t\,\partial_2 f(t, t)\)

D \(2t\,\partial_1 f(t^2, e^t) + e^t\,\partial_2 f(t^2, e^t)\)

Question 9

Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) et \(g(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)\). Que vaut \(\frac{\partial g}{\partial r}(r, \theta)\) (dérivées de \(f\) évaluées en \((r\cos\theta, r\sin\theta)\)) ?

A \(\cos\theta\,\partial_1 f + \sin\theta\,\partial_2 f\)

B \(\cos\theta\,\partial_1 f - \sin\theta\,\partial_2 f\)

C \(-r\sin\theta\,\partial_1 f + r\cos\theta\,\partial_2 f\)

D \(r\cos\theta\,\partial_1 f + r\sin\theta\,\partial_2 f\)

Question 10

Soit \(f(x, y) = x^2 + y^2\), \(a = (1, 2)\) et \(v = (3, -1)\). Que vaut la dérivée de \(f\) en \(a\) selon le vecteur \(v\) ?

A \(2\)

B \(-2\)

C \(6\)

D \(10\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de fonctions de deux variables en maths sup

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

le calcul des dérivées partielles et du gradient ;
l’équation du plan tangent à la surface \(z = f(x, y)\) ;
la dérivée selon un vecteur \(D_v f(a) = \langle \nabla f(a), v \rangle\) ;
la règle de la chaîne, notamment en coordonnées polaires ;
les points critiques et la nature d’un point critique sur des exemples.

L’erreur la plus fréquente

L’existence des dérivées partielles en un point n’entraîne même pas la continuité : \(f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}\), prolongée par \(0\), a des dérivées partielles nulles en \((0,0)\) sans y être continue.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour trouver la nature d’un point critique, étudiez \(f\) restreinte à des droites passant par ce point (axes, diagonales) : deux comportements opposés prouvent l’absence d’extremum. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths sup

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Espérance et variance, Espaces préhilbertiens réels. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths sup rassemble les 32 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Un point critique est-il toujours un extremum ?

Non : \(f(x, y) = x^2 – y^2\) a un point critique en \((0,0)\), qui est un point col. La condition \(\nabla f(a) = 0\) est seulement nécessaire, et sur un ouvert.

Que représente le gradient ?

\(\nabla f(a)\) indique la direction de plus forte croissance de \(f\) en \(a\), et sa norme donne le taux de croissance dans cette direction.