Ce QCM de maths sup porte sur les probabilités sur un univers fini : systèmes complets, probabilités conditionnelles, formules des probabilités totales et de Bayes, lois usuelles, couples de variables et indépendance. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Probabilités sur un univers fini et variables aléatoires du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Probabilités sur un univers fini - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Une famille finie d’événements \((A_1, \dots, A_n)\) est un système complet d’événements lorsque :
Ales \(A_i\) sont deux à deux incompatibles
Bles probabilités \(P(A_i)\) ont pour somme \(1\)
Cles \(A_i\) sont deux à deux incompatibles et leur réunion est \(\Omega\)
Dles \(A_i\) sont deux à deux indépendants et leur réunion est \(\Omega\)
Question 2
Une maladie touche \(1\,\%\) d’une population. Un test est positif chez \(99\,\%\) des malades et chez \(5\,\%\) des personnes saines. Quelle est la probabilité d’être malade sachant que le test est positif ?
Aenviron \(0{,}05\)
Benviron \(0{,}50\)
Cenviron \(0{,}99\)
Denviron \(0{,}17\)
Question 3
L’urne \(U_1\) contient \(2\) boules rouges et \(3\) noires, l’urne \(U_2\) contient \(4\) rouges et \(1\) noire. On choisit une urne au hasard (équiprobabilité), puis une boule. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
A\(\frac{2}{5}\)
B\(\frac{4}{5}\)
C\(\frac{3}{5}\)
D\(\frac{8}{25}\)
Question 4
On lance deux fois une pièce équilibrée. \(A\) : « pile au premier lancer », \(B\) : « pile au second », \(C\) : « les deux lancers donnent le même résultat ». Laquelle des affirmations est vraie ?
A\(A\), \(B\), \(C\) sont deux à deux indépendants mais pas mutuellement indépendants
B\(A\), \(B\), \(C\) sont mutuellement indépendants
C\(A\) et \(C\) ne sont pas indépendants
D\(B\) et \(C\) sont incompatibles
Question 5
Soit \(X\) de loi binomiale \(\mathcal{B}\left(5, \frac{1}{2}\right)\). Que vaut \(P(X = 2)\) ?
A\(\frac{5}{16}\)
B\(\frac{5}{32}\)
C\(\frac{2}{5}\)
D\(\frac{1}{4}\)
Question 6
Le couple \((X, Y)\) à valeurs dans \(\{0, 1\}^2\) a pour loi \(P(0,0) = 0{,}1\), \(P(0,1) = 0{,}3\), \(P(1,0) = 0{,}2\), \(P(1,1) = 0{,}4\). Laquelle des affirmations est vraie ?
A\(P(Y = 1) = 0{,}4\) et \(X\), \(Y\) ne sont pas indépendantes
B\(P(Y = 1) = 0{,}7\) et \(X\), \(Y\) sont indépendantes
C\(P(Y = 1) = 0{,}7\) et \(X\), \(Y\) ne sont pas indépendantes
D\(P(Y = 1) = 0{,}3\) et \(X\), \(Y\) sont indépendantes
Question 7
Soit \(X_1, \dots, X_n\) des variables de Bernoulli de paramètre \(p\). Sous quelle hypothèse la somme \(S = X_1 + \dots + X_n\) suit-elle à coup sûr la loi \(\mathcal{B}(n, p)\) ?
Asi les \(X_i\) sont mutuellement indépendantes
Bsans hypothèse supplémentaire
Csi les \(X_i\) ont la même espérance
Dsi les \(X_i\) sont deux à deux indépendantes
Question 8
Une urne contient \(3\) boules blanches et \(2\) noires. On tire successivement deux boules sans remise. Quelle est la probabilité que les deux soient blanches ?
A\(\frac{3}{5}\)
B\(\frac{3}{10}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(\frac{9}{25}\)
Question 9
\(X\) suit la loi uniforme sur \(\{-2, -1, 0, 1, 2\}\) et \(Y = X^2\). Quelle est la loi de \(Y\) ?
Soit \(X_1, X_2, X_3, X_4\) des variables aléatoires mutuellement indépendantes. Laquelle des affirmations est garantie par le lemme des coalitions ?
A\(X_1 + X_2\) et \(X_1 - X_2\) sont indépendantes
B\(X_1 + X_2\) et \(X_3 X_4\) sont indépendantes
C\(X_1 + X_2\) et \(X_2 X_3\) sont indépendantes
D\(X_1 X_2\) et \(X_1 + X_4\) sont indépendantes
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de probabilités sur un univers fini en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le système complet d’événements et la formule des probabilités totales ;
la formule de Bayes pour inverser un conditionnement ;
les lois uniforme, de Bernoulli et binomiale, et la loi de \(f(X)\) ;
la loi conjointe et les lois marginales d’un couple ;
l’indépendance mutuelle, distincte de l’indépendance deux à deux, et le lemme des coalitions.
L’erreur la plus fréquente
Des événements deux à deux indépendants ne sont pas forcément mutuellement indépendants. Avec deux lancers de pièce, « pile au premier », « pile au second » et « même résultat » en sont l’exemple standard.
Comment réviser avant de refaire le test
Face à un énoncé de tests ou de tirages, posez d’abord un système complet d’événements explicite, puis écrivez la formule des probabilités totales avant tout calcul numérique. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Incompatibles et indépendants, est-ce la même chose ?
Non, c’est presque le contraire : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque \(P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)\).
Les lois marginales déterminent-elles la loi du couple ?
Non en général : deux couples peuvent avoir les mêmes marginales et des lois conjointes différentes. Elles la déterminent quand \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
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