Ce QCM porte sur l’étude complète d’une suite récurrente, grand classique des écrits : suites arithmético-géométriques, récurrences linéaires d’ordre 2 et suites \(u_{n+1} = f(u_n)\). Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Suites particulières et suites récurrentes du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Suites récurrentes - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 2u_n + 3\). Quel est le terme général de \((u_n)\) ?
A\(u_n = 2^{n+2} + 3\)
B\(u_n = 2^{n+2} - 3\)
C\(u_n = 2^{n+1} - 3\)
D\(u_n = 3 \cdot 2^n - 2\)
Question 2
Soit \(u_0 = 0\), \(u_1 = 3\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\). Quel est le terme général de \((u_n)\) ?
A\(u_n = 3n\,2^{n-1}\)
B\(u_n = 2^n + (-1)^n\)
C\(u_n = 2^n - (-1)^n\)
D\(u_n = 1 - (-2)^n\)
Question 3
On suppose \(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(u_n \to \ell\). Quelle hypothèse permet d’affirmer que \(f(\ell) = \ell\) ?
A\(f\) est croissante
B\(f\) est continue en \(\ell\)
C\(f\) est définie en \(\ell\)
D\(f\) est bornée au voisinage de \(\ell\)
Question 4
Soit \(f\) croissante sur un intervalle \(I\) stable par \(f\), \(u_0 \in I\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). Que peut-on affirmer ?
A\((u_n)\) est croissante
B\((u_n)\) est monotone, de sens donné par le signe de \(u_1 - u_0\)
C\((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones de sens contraires
D\((u_n)\) est convergente
Question 5
Soit \(f\) décroissante sur un intervalle \(I\) stable par \(f\), \(u_0 \in I\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). Que peut-on affirmer ?
A\((u_n)\) est décroissante
B\((u_n)\) est monotone
C\((u_n)\) est convergente
D\((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones de sens contraires
Question 6
Soit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\). On admet que \((u_n)\) converge. Quelle est sa limite ?
A\(2\)
B\(-1\)
C\(4\)
D\(\sqrt{2}\)
Question 7
Soit \(u_0 \in \left]0, 1\right[\) et \(u_{n+1} = u_n - u_n^2\). Quelle est la limite de \((u_n)\) ?
A\(\frac{1}{2}\)
B\(1\)
C\(0\)
D\(-\infty\)
Question 8
Quelle est l’itération de la méthode de Newton appliquée à \(f(x) = x^2 - 2\) ?
On sait que \(|u_{n+1} - \ell| \leqslant \frac{1}{2}|u_n - \ell|\) et \(|u_0 - \ell| \leqslant 1\). Quel est le plus petit \(n\) pour lequel cette majoration garantit \(|u_n - \ell| \leqslant 10^{-3}\) ?
A\(9\)
B\(3\)
C\(1000\)
D\(10\)
Question 10
Soit \(f(x) = -x\), \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). Quelle affirmation est vraie ?
A\((u_n)\) diverge, bien que \(f\) soit continue avec un unique point fixe
B\((u_n)\) converge vers \(0\), l’unique point fixe de \(f\)
C\((u_n)\) converge vers \(1\)
D\((u_n)\) est stationnaire à partir du rang \(1\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de suites récurrentes en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le terme général d’une suite arithmético-géométrique ;
les récurrences linéaires d’ordre 2 à coefficients constants ;
l’intervalle stable et la monotonie selon que \(f\) est croissante ou décroissante ;
les points fixes comme seules limites possibles ;
la vitesse de convergence et la méthode de Newton.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire que \((u_n)\) est croissante parce que \(f\) est croissante. Si \(f\) est croissante, \((u_n)\) est monotone, mais son sens dépend du signe de \(u_1 – u_0\) ; si \(f\) est décroissante, ce sont les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) qu’il faut étudier.
Comment réviser avant de refaire le test
Commencez par tracer le graphe de \(f\) et la droite \(y = x\) avec l’escalier ou l’escargot : le dessin indique l’intervalle stable, le sens de variation et la limite à démontrer. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Un point fixe de \(f\) est-il toujours la limite de la suite ?
Non : un point fixe n’est qu’une limite possible. Il faut d’abord prouver la convergence (monotonie et bornes, ou contraction) avant de conclure, et plusieurs points fixes peuvent coexister.
Pourquoi la méthode de Newton converge-t-elle si vite ?
Près d’une racine simple, l’erreur est à peu près élevée au carré à chaque étape : le nombre de décimales exactes double environ à chaque itération (convergence quadratique).
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