Volume de pyramide et cône : corrigé des exercices en 4ème.

Le corrigé des exercices de maths en 4ème sur le volume d’une pyramide et d’un cône de révolution. Utilisation des formules des volumes et conversions.

Exercice 1 :

Une pyramide a pour base un losange dont les diagonales ont pour dimensions 8 et 5 cm.

La hauteur de cette pyramide est de 4 cm.

1. A vous de tracer le patron …
2. Quel est le volume de cette pyramide ?
$V=\frac{base\,\times hauteur}{3}=\frac{8\times 5\times 4}{3}=\frac{160}{3}=53\,cm^3$

Exercice 2 :

Convertir les volumes suivants en :

a. 6 dm³=6 000 .
b. 0,9 daL=9 L=9 000 .
c. 45 mm³=0,045 .
d. 0,092 m³ = 92 000
e. 0,039 hL=3,9 L=3 900.
f. 0,000756 dam³= 756 000

Exercice 3 :

Quelle est sa hauteur ?
$V=\frac{base\times hauteur}{3}$
$63=\frac{25\times h}{3}$
$h=\frac{3\times 63}{25}=7,56\,cm$

Conclusion : la hauteur de cette pyramide est de 7,56 cm.

Exercice 4 :
Quel est le rayon de son cercle de base ?
$V=\frac{\pi\times R^2\times h}{3}$
$18=\frac{\pi\times R^2\times 5}{3}$
$18=\frac{5\pi R^2 }{3}$
$5\pi R^2=18\times 3$
$5\pi R^2=54$
$R^2=\frac{54}{5\pi }$
$R=\sqrt{\frac{54}{5\pi }}$
${\color{DarkRed} R\simeq 1,85\,cm}$

Exercice 5 :

$V=\frac{b\times h}{3}=\frac{4\times 4\times 8}{3}\simeq 43\,cm^3$

Exercice 6 :
Calculer son volume.
$V=\frac{\pi\times R^2\times h}{3}$
$V=\frac{\pi\times 5^2\times 6}{3}$
$V=\frac{150\pi}{3}$
${\color{DarkRed} V=50\pi}\,cm^3$

Exercice 7 :
Calculer son volume.
$V=\frac{base\times hauteur}{3}$
$V=\frac{4,5\times 6:2\times 7}{3}=\frac{4,5\times 3\times 7}{3}=4,5\times 7=31,5\,cm^3$

Exercice 8 :
$V=\frac{B\times h}{3}=\frac{\pi \times R^2\times h}{3}=\frac{\pi \times 7^2\times 9}{3}\simeq 462\,cm^3$

Exercice 9 :

Calculer son volume.

$V=\frac{base\times hauteur}{3}$

$V=\frac{36\times 34}{3}=\frac{1224}{3}=408\,cm^3$

Conclusion :

Le volume de cette pyramide à base carrée est de $408\,cm^3$ .

Exercice 10 :
ABCDE est une pyramide droite à base rectangulaire.

Quelle est la nature de BCDE ?

BCDE est un rectangle .
b. Quelle est la hauteur de ABCDE ?
La hauteur est [AB] .
c. On sait que AB = 5 cm, BC = 7 cm et BE = 9 cm.
Tracer en vraie grandeur le triangle ABC.
Calculer le volume de ABCDE.
$V=\frac{base\times hauteur}{3}$
$V=\frac{BC\times BE\times AB}{3}$
$V=\frac{7\times 9\times 5}{3}=\frac{315}{3}=105\,cm^3$

Exercice 11 :

Voici un patron de cône de révolution.

1. Quel est le sommet de ce cône ?

Le point A
2. Quel est le centre et le rayon de son disque de base ?
Le point D et son rayon est de 1 cm .
3. Quelle est la longueur d’une génératrice ?
la longueur d’un génératrice est de 3 cm .
4. Calculer la longueur de l’arc de cercle BC.

C’est le périmètre du disque de base .

$L=2\pi\times 1=2\pi$

Exercice 12 :
$V=\frac{Base\times hauteur}{3}$
$V=\frac{30\times 50\times 90}{3}$
$V=\frac{135000}{3}$
$V=45000\,cm^3$

Exercice 16 :

Une pyramide a pour base un carré de 6 cm de côté et pour hauteur 34 cm. Calculer son volume.

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3} \times 36\times 34=408\,cm^3$

Exercice 17 :

Un cône a pour rayon de base 7cm, et pour hauteur 9cm. Calculer son volume, puis en donner une valeur approchée au centième de cm³ près.

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\times \pi\times 7^2\times 9=147\pi\simeq 461,81\,cm^3$

Exercice 18 :

Une pyramide a pour base un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 4,5cm, AC = 7,5cm et BC = 6cm. Sa hauteur est de 7cm. Calculer son volume.

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{6}\times \,4,5\times \,6\times \,7=31,5\,cm^3$

Exercice 19 :

Une pyramide a pour base un parallélogramme ABCD tel que AB = 4cm, AD = 4,5cm, et AH = 4cm (H est le point d’intersection de la perpendiculaire à (DC) passant par A). La hauteur de cette pyramide est de 8 cm. Calculer le volume de cette pyramide.

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\times 4\times 4\times 8\simeq 42,67\,cm^3$

Exercice 20 :

Un cône a pour volume 18cm³. Sa hauteur est de 5cm. Quel est le rayon de son cercle de base ? (on donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au centième)

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\times \,\pi\times \,R^2\times \,5=18cm^3$

$R^2=\frac{3\times \,18}{\pi\times \,5}$ or R>0 donc

$R=\sqrt{\frac{3\times 18}{\pi\times 5}}\simeq 1,85\,cm$

Exercice 21 :

Une pyramide a pour volume 63cm³, pour base un carré de 5cm de côté. Quelle est sa hauteur ?

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3} \times 5^2\times h=63\,cm^3$

$h=\frac{3\times 63}{25}=7,56\;cm^3$

Exercice 22 :

Une pyramide a pour base un triangle DEF rectangle en E. On sait que sa hauteur (à la pyramide) est de 7cm, que DE = 4cm, et que son volume est de 0,05 L.

Calculer EF.

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3} \times DE\times EF \times 7=0,05L=0,05dm^3=50cm^3$

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3} \times 4\times EF \times 7=0,05L=0,05dm^3=50cm^3$

$EF=\frac{3\times 50}{28}\simeq 5,36\,cm$

2.En déduire DF.

Le trangle DEF est rectangle en E donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

$DF=\sqrt{4^2+5,36^2}\simeq 6,69\,cm$

Exercice 23 :

Une pyramide a pour base un losange dont les diagonales mesurent respectivement 7 et 5 cm. Sa hauteur est de 12cm. Quel est son volume en dm³?

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{6} \times 5\times 7\times 12=70\,cm^3=0,07\,dm^3$

Exercice 24 :

Convertir les volume suivant en cm³:

a. $6\,dm^3=6\,000\,cm^3$ .

b. $0,9\,daL=9L=9\,dm^3=9\,000\,cm^3$ .

c. $45\,mm^3=0,045\,cm^3$ .

d. $0,092\,m^3=92\,dm^3=92\,000\,cm^3$ .

e. .

f. $0,000756\,dam^3=756\,dm^3=756\,000\,cm^3$

g. .

Exercice 25 :

Une pyramide a pour base un trapèze isocèle de hauteur 4cm, de petite base 5cm, de grande base 7cm. La hauteur de cette pyramide est de 14cm. Quel est son volume ?

$A_{trapeze}=\frac{(B+b)\times \,h}{2}=\frac{(7+5)\times \,4}{2}=24\,cm^2$

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\,\times \,24\times \,14=112\,cm^3$

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