Déterminant de deux vecteurs : définition et exemple

Sommaire

Au programme de Seconde

Définition

Le déterminant des vecteurs \(\vec u(x\,;\,y)\) et \(\vec v(x’\,;\,y’)\) est le nombre \(xy’ – yx’\).

Notation : \(\det(\vec u\,;\,\vec v) = \begin{vmatrix} x & x’ \\ y & y’ \end{vmatrix} = xy’ – yx’\).

En clair

C’est un calcul en croix qui répond à une seule question : les deux vecteurs sont-ils parallèles ?

Le déterminant est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
En valeur absolue, il donne l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs.
\(\det(\vec v\,;\,\vec u) = -\det(\vec u\,;\,\vec v)\).
C’est l’outil pour démontrer un alignement ou un parallélisme par le calcul.

\(\vec u(4\,;\,6)\) et \(\vec v(2\,;\,3)\) : \(\det = 4\times 3 – 6\times 2 = 0\). Les vecteurs sont colinéaires.

À tester la colinéarité : il est nul exactement quand les deux vecteurs sont colinéaires.

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