Seconde · Fiche méthode 4 sur 12 · Vecteurs
Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?
Deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-yx' = 0$. Ce nombre s'appelle le déterminant ; il sert à prouver un alignement ou un parallélisme.
La méthode en 5 étapes
1Calculer les coordonnées des deux vecteurs
Par « arrivée moins départ » pour chacun.
2Calculer le déterminant
On multiplie en croix : $x\times y'$ moins $y\times x'$. On écrit le calcul complet, sans sauter d'étape.
3Conclure sur la colinéarité
Déterminant nul : les vecteurs sont colinéaires. Non nul : ils ne le sont pas.
4Traduire selon la question
Alignement de $A$, $B$, $C$ : on montre que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Parallélisme de $(AB)$ et $(CD)$ : on montre que $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ le sont.
5Rédiger la conclusion
« Le déterminant est nul, donc $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, donc les points $A$, $B$, $C$ sont alignés. »
Un exemple entièrement résolu
$A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$ et $C(10\,;5)$. Les points sont-ils alignés ?
$\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}$ et $\vec{AC}\begin{pmatrix} 9 \\ 3\end{pmatrix}$.
$\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 3\times 3-1\times 9 = 9-9 = 0$.
Le déterminant est nul, donc $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
Ces deux vecteurs partent du même point $A$ : les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés. On remarque d'ailleurs que $\vec{AC} = 3\vec{AB}$.
Conclusion. Le déterminant est nul : les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Les erreurs à ne pas faire
- Calculer $xy'+yx'$ au lieu de $xy'-yx'$ : c'est une différence.
- Prendre des vecteurs qui ne partent pas du même point pour montrer un alignement : $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, pas $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ (qui marchent aussi, mais il faut alors le justifier autrement).
- Conclure « les vecteurs sont parallèles » : on dit colinéaires pour des vecteurs, parallèles pour des droites.
- Oublier la phrase qui relie la colinéarité à la question posée.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
$\vec{u}\begin{pmatrix} 6 \\ -4\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 2\end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ?
Voir le corrigé
$\det = 6\times 2-(-4)\times(-3) = 12-12 = 0$.
Oui, ils sont colinéaires : on a d'ailleurs $\vec{u} = -2\vec{v}$.
- Exercice 2
$A(-1\,;0)$, $B(2\,;6)$, $C(3\,;1)$, $D(5\,;5)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
Voir le corrigé
$\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 6\end{pmatrix}$ et $\vec{CD}\begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}$. $\det = 3\times 4-6\times 2 = 12-12 = 0$.
Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
- Exercice 3
Déterminer $m$ pour que $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ m\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ 9\end{pmatrix}$ soient colinéaires.
Voir le corrigé
$\det = 4\times 9-m\times 6 = 36-6m$. Il est nul lorsque $6m = 36$, soit $m = 6$.
Pour $m = 6$, les deux vecteurs sont colinéaires.
Questions fréquentes
Que signifie géométriquement la colinéarité ?
Que les deux vecteurs ont la même direction : ils sont portés par des droites parallèles, ou par la même droite. L'un est alors un multiple de l'autre, $\vec{v} = k\vec{u}$, et le déterminant nul exprime exactement cela.
Le vecteur nul est-il colinéaire à tout vecteur ?
Oui, par convention : son déterminant avec n'importe quel vecteur est nul. C'est cohérent avec la définition $\vec{0} = 0\times\vec{u}$. Cela dit, cette situation apparaît rarement en exercice, sauf si deux points de l'énoncé sont confondus.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Vecteurs en Seconde, voici le reste des ressources du site :