Seconde — chapitre 6 sur 10

Vecteurs

Q: Comment calculer les coordonnées d'un vecteur ?

AB a pour coordonnées (x_B-x_A;y_B-y_A) : on soustrait les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité.

Q: Qu'est-ce que la relation de Chasles ?

AB+BC = AC : on enchaîne deux déplacements. Elle sert à simplifier des sommes de vecteurs.

Q: Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?

u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires si xy'-x'y = 0. Cela permet de prouver un parallélisme ou un alignement.

Q: Comment calculer la norme d'un vecteur ?

Dans un repère orthonormé, \| u\| = √x^2+y^2. C'est la longueur AB si u = AB.

Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme ; deux vecteurs colinéaires ont un déterminant nul.

Déplace $A$, $B$ ou $C$ : $\vec{AB}+\vec{BC} = \vec{AC}$ ; le parallélogramme illustre la somme des deux vecteurs d'origine $A$.

Définition — vecteur

$\vec{AB}$ est associé à la translation qui envoie $A$ sur $B$. $\vec{AB} = \vec{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). $\vec{BA} = -\vec{AB}$ ; $\vec{AA} = \vec 0$.

Théorème — relation de Chasles

Pour tous points $A$, $B$, $C$ : $\vec{AB}+\vec{BC} = \vec{AC}$.

Propriété — coordonnées

Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ : $\vec{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\ y_B-y_A\end{pmatrix}$. Norme : $\|\vec{AB}\| = AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ (repère orthonormé). Milieu $I$ de $[AB]$ : $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Propriété — opérations

$\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix}$ et $k\vec u = \begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}$.

Définition — colinéarité, déterminant

$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s'il existe $k$ tel que $\vec v = k\vec u$ (ou l'un est nul). $\det(\vec u,\vec v) = xy' - x'y$. $$\vec u\text{ et }\vec v\text{ colinéaires}\iff xy'-x'y = 0.$$

Méthode — applications

$(AB)\parallel(CD) \iff \vec{AB}$ et $\vec{CD}$ colinéaires. $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \vec{AB}$ et $\vec{AC}$ colinéaires.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment calculer les coordonnées d'un vecteur ?

$\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A\,;y_B-y_A)$ : on soustrait les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité.

Qu'est-ce que la relation de Chasles ?

$\vec{AB}+\vec{BC} = \vec{AC}$ : on enchaîne deux déplacements. Elle sert à simplifier des sommes de vecteurs.

Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?

$\vec u(x\,;y)$ et $\vec v(x'\,;y')$ sont colinéaires si $xy'-x'y = 0$. Cela permet de prouver un parallélisme ou un alignement.

Comment calculer la norme d'un vecteur ?

Dans un repère orthonormé, $\|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}$. C'est la longueur $AB$ si $\vec u = \vec{AB}$.

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