Au programme de Terminale
Définition
Une fonction est convexe sur un intervalle lorsque sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes ; elle est concave lorsqu’elle est en dessous.
En clair
Convexe, la courbe « tourne vers le haut » (elle creuse comme un bol) ; concave, elle tourne vers le bas.
Ce qu’il faut retenir
- \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f »(x) \ge 0\) sur \(I\).
- \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(f »(x) \le 0\) sur \(I\).
- Une fonction est convexe si et seulement si sa dérivée \(f’\) est croissante.
- Une corde reliant deux points de la courbe d’une fonction convexe est au-dessus de la courbe.
- La fonction carré et la fonction exponentielle sont convexes ; la fonction logarithme et la fonction racine sont concaves.
Exemple
\(f(x) = x^3\) : \(f »(x) = 6x\), négative avant 0 et positive après. La fonction est concave sur \(]-\infty\,;\,0]\) et convexe sur \([0\,;\,+\infty[\).
À ne pas confondre avec
- Variations d'une fonction — les variations dépendent de \(f’\), la convexité de \(f »\).
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- Synthèse de coursDérivation : composées et convexité
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Questions fréquentes sur « convexité »
Comment étudier la convexité d’une fonction ?
On calcule la dérivée seconde \(f »\) et on étudie son signe : positive signifie convexe, négative signifie concave.
