Fubini et changement de variables : cours de maths en L3 en PDF.

On appelle rectangle mesurable toute partie \(A \times B\) avec \(A \in \mathcal{A}\) et \(B \in \mathcal{B}\). La tribu produit \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\) est la tribu sur \(X \times Y\) engendrée par les rectangles mesurables.

Pour tous entiers \(p, q \geq\, 1\), on a \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^p) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}^q) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^{p+q})\). En particulier, \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\) est la tribu produit de \(n\) copies de \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\).

Soit \(E \subset X \times Y\) et \(x \in X\). La section de \(E\) en \(x\) est \(E_x = \{ y \in Y : (x, y) \in E \}\). De même, pour \(y \in Y\), on pose \(E^y = \{ x \in X : (x, y) \in E \}\). Pour une fonction \(f\) sur \(X \times Y\), on note \(f_x : y \mapsto f(x, y)\) et \(f^y : x \mapsto f(x, y)\).

Si \(E \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\), alors \(E_x \in \mathcal{B}\) pour tout \(x \in X\) et \(E^y \in \mathcal{A}\) pour tout \(y \in Y\). Si \(f : X \times Y \to \overline{\mathbb{R}}\) est \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\)-mesurable, alors chaque \(f_x\) est \(\mathcal{B}\)-mesurable et chaque \(f^y\) est \(\mathcal{A}\)-mesurable.

Fixons \(x\) et notons \(\mathcal{C}\) l’ensemble des \(E \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\) tels que \(E_x \in \mathcal{B}\). D’abord, \(\mathcal{C}\) contient les rectangles : \((A \times B)_x\) vaut \(B\) si \(x \in A\), et \(\varnothing\) sinon. Ensuite, les sections commutent avec les opérations ensemblistes : \((E^c)_x = (E_x)^c\) et \((\bigcup_n E_n)_x = \bigcup_n (E_n)_x\). Donc \(\mathcal{C}\) est une tribu contenant les rectangles, et ainsi \(\mathcal{C} = \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\). Enfin, pour une fonction, on écrit \(f_x^{-1}(I) = (f^{-1}(I))_x\) pour tout intervalle \(I\).

La réciproque est fausse : une partie dont toutes les sections sont mesurables n’est pas forcément dans la tribu produit. De plus, la tribu de Lebesgue de \(\mathbb{R}^2\) est strictement plus grosse que le produit des tribus de Lebesgue de \(\mathbb{R}\). Dans ce chapitre, on travaille donc avec des fonctions boréliennes, ce qui suffit en pratique.

Soit \(\mu\) et \(\nu\) deux mesures σ-finies. Pour tout \(E \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\), les fonctions \(x \mapsto \nu(E_x)\) et \(y \mapsto \mu(E^y)\) sont mesurables, et
\[\int_X \nu(E_x)\, d\mu(x) = \int_Y \mu(E^y)\, d\nu(y).\]
Cette valeur commune définit une mesure \(\mu \otimes \nu\) sur \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\). C’est l’unique mesure vérifiant \((\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu(A)\, \nu(B)\) pour tous \(A \in \mathcal{A}\), \(B \in \mathcal{B}\).

Supposons d’abord \(\mu\) et \(\nu\) finies. Soit \(\mathcal{M}\) la classe des \(E\) pour lesquels l’énoncé sur les deux intégrales est vrai. Elle contient les rectangles, car les deux intégrales valent \(\mu(A) \nu(B)\). Ensuite, elle est stable par différence \(F \setminus E\) avec \(E \subset F\), puisque les mesures sont finies. Elle est aussi stable par réunion croissante, grâce au théorème de convergence monotone. Par conséquent, \(\mathcal{M}\) est une classe monotone contenant un π-système, donc elle contient la tribu engendrée. L’additivité dénombrable de \(E \mapsto \int \nu(E_x)\, d\mu(x)\) découle, elle aussi, de la convergence monotone. Pour l’unicité, deux mesures qui coïncident sur le π-système des rectangles et qui sont finies coïncident sur la tribu engendrée : c’est le lemme d’unicité des mesures. Enfin, le cas σ-fini s’obtient en découpant \(X \times Y\) en une suite croissante de rectangles \(X_n \times Y_n\) de mesure finie.

La diagonale \(\Delta = \{(x, x) : x \in \mathbb{R}\}\) est un fermé, donc un borélien de \(\mathbb{R}^2\). Pour la mesure de Lebesgue \(\lambda\), chaque section \(\Delta_x = \{x\}\) est de mesure nulle. Par conséquent, \((\lambda \otimes \lambda)(\Delta) = \int_{\mathbb{R}} \lambda(\{x\})\, dx = 0\). Le même argument montre que le graphe d’une fonction borélienne est négligeable dans le plan.

Théorème de Fubini-Tonelli. Soit \(\mu\), \(\nu\) σ-finies et \(f : X \times Y \to [0, +\infty]\) mesurable pour \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\). Alors \(x \mapsto \int_Y f(x, y)\, d\nu(y)\) et \(y \mapsto \int_X f(x, y)\, d\mu(x)\) sont mesurables, et
\[\int_{X \times Y} f\, d(\mu \otimes \nu) = \int_X ( \int_Y f(x, y)\, d\nu(y) ) d\mu(x) = \int_Y ( \int_X f(x, y)\, d\mu(x) ) d\nu(y).\]
Ces égalités ont lieu dans \([0, +\infty]\), sans aucune hypothèse de finitude.

Théorème de Fubini. Soit \(\mu\), \(\nu\) σ-finies et \(f \in L^1(\mu \otimes \nu)\). Alors :

• pour \(\mu\)-presque tout \(x\), la fonction \(f_x\) est \(\nu\)-intégrable ;
• la fonction \(x \mapsto \int_Y f(x, y)\, d\nu(y)\), définie presque partout, est \(\mu\)-intégrable ;
• les deux intégrales itérées existent et sont égales à \(\int_{X \times Y} f\, d(\mu \otimes \nu)\).

On écrit \(f = f^{+} – f^{-}\). Par Tonelli, \(\int_X ( \int_Y f^{\pm}(x, y)\, d\nu(y) ) d\mu(x) = \int f^{\pm} \, d(\mu \otimes \nu) < +\infty\). Une fonction positive d’intégrale finie est finie presque partout. Donc, pour presque tout \(x\), les intégrales de \(f_x^{+}\) et \(f_x^{-}\) sont finies, et \(f_x\) est intégrable. On soustrait ensuite les deux égalités de Tonelli, ce qui est licite car tous les termes sont finis. Enfin, le rôle de \(x\) et de \(y\) est symétrique.

Pour justifier une interversion d’intégrales :

• vérifier que les mesures sont σ-finies (Lebesgue, mesure de comptage sur un ensemble dénombrable) et que la fonction est mesurable sur le produit ;
• si \(f \geq\, 0\), invoquer directement Fubini-Tonelli : aucune autre vérification n’est nécessaire ;
• sinon, calculer d’abord \(\iint |f|\) par intégrales itérées (Tonelli), montrer que c’est fini, puis appliquer Fubini.

Calculons \(I = \int_0^1 \frac{x – 1}{\ln x}\, dx\). Pour \(x \in ]0, 1[\), on a \(\frac{x – 1}{\ln x} = \int_0^1 x^t\, dt\), car \(\frac{d}{dt} x^t = x^t \ln x\). La fonction \((x, t) \mapsto x^t\) est continue et positive sur \(]0, 1[ \times [0, 1]\). Ainsi, Tonelli donne
\[I = \int_0^1 ( \int_0^1 x^t\, dx ) dt = \int_0^1 \frac{dt}{t + 1} = \ln 2.\]

Sans intégrabilité, les intégrales itérées peuvent différer. Pour \(f(x, y) = \frac{x^2 – y^2}{(x^2 + y^2)^2}\) sur \(]0, 1]^2\), on trouve \(\frac{\pi}{4}\) dans un ordre et \(-\frac{\pi}{4}\) dans l’autre : la fonction n’est pas intégrable. De même, l’hypothèse de σ-finitude est indispensable : avec la mesure de comptage sur \([0, 1]\), qui n’est pas σ-finie, l’indicatrice de la diagonale donne deux intégrales itérées égales à \(0\) et à \(1\).

Avec la mesure de comptage sur \(\mathbb{N}\), Tonelli dit que pour une suite double \((a_{m,n})\) de réels positifs, \(\sum_m \sum_n a_{m,n} = \sum_n \sum_m a_{m,n}\) dans \([0, +\infty]\). Fubini dit que, si \(\sum_{m,n} |a_{m,n}| < +\infty\), les deux sommes itérées convergent et sont égales. On retrouve le théorème d’interversion des séries doubles.

La mesure de Lebesgue \(\lambda_n\) sur \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\) est la mesure produit \(\lambda \otimes \cdots \otimes \lambda\) de \(n\) copies de la mesure de Lebesgue de \(\mathbb{R}\). C’est l’unique mesure borélienne telle que \(\lambda_n(\prod_{i=1}^n [a_i, b_i]) = \prod_{i=1}^n (b_i – a_i)\).

La mesure \(\lambda_n\) est invariante par translation : \(\lambda_n(a + E) = \lambda_n(E)\) pour tout \(a \in \mathbb{R}^n\). Réciproquement, toute mesure borélienne invariante par translation et finie sur les compacts est de la forme \(c\, \lambda_n\) avec \(c = \mu([0, 1]^n)\).

Pour tout \(T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) et tout borélien \(E\), on a \(\lambda_n(T(E)) = |\det T|\, \lambda_n(E)\). En particulier, une isométrie conserve la mesure et une homothétie de rapport \(r\) la multiplie par \(|r|^n\).

Si \(T\) n’est pas inversible, \(T(E)\) est contenu dans un hyperplan. Or un hyperplan est négligeable, par Tonelli, après une rotation qui l’envoie sur \(\{x_n = 0\}\). Supposons donc \(T\) inversible. La mesure \(E \mapsto \lambda_n(T(E))\) est invariante par translation, car \(T(a + E) = T(a) + T(E)\). De plus, elle est finie sur les compacts. Il existe donc \(c(T) > 0\) tel que \(\lambda_n(T(E)) = c(T)\, \lambda_n(E)\). Ensuite, \(c(ST) = c(S)\, c(T)\). Il suffit donc de traiter les matrices élémentaires, qui engendrent le groupe linéaire. Pour une dilatation d’un axe par \(a\), l’image de \([0, 1]^n\) est un pavé de volume \(|a|\). Pour une permutation des coordonnées, Tonelli donne \(c = 1\). Pour une transvection \((x_1, x_2, \ldots) \mapsto (x_1 + a x_2, x_2, \ldots)\), chaque section à \(x_2, \ldots, x_n\) fixés est translatée de \(a x_2\) : sa mesure ne change pas, d’où \(c = 1\). Enfin, \(c\) et \(|\det|\) sont deux morphismes qui coïncident sur les générateurs.

L’ellipse pleine \(\mathcal{E} = \{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq\, 1 \}\), avec \(a, b > 0\), est l’image du disque unité par \((u, v) \mapsto (a u, b v)\). Son aire vaut donc \(a b \times \pi = \pi a b\).

Soit \(U\), \(V\) deux ouverts de \(\mathbb{R}^n\). Un \(C^1\)-difféomorphisme \(\varphi : U \to V\) est une bijection de classe \(C^1\) dont la réciproque est de classe \(C^1\). Son jacobien est \(J_\varphi(x) = \det d\varphi(x)\), le déterminant de la matrice des dérivées partielles.

Théorème de changement de variables. Soit \(\varphi : U \to V\) un \(C^1\)-difféomorphisme entre ouverts de \(\mathbb{R}^n\). Pour toute fonction borélienne \(f : V \to [0, +\infty]\),
\[\int_V f(y)\, dy = \int_U f(\varphi(x))\, |J_\varphi(x)|\, dx.\]
De plus, \(f\) est intégrable sur \(V\) si et seulement si \((f \circ \varphi) |J_\varphi|\) est intégrable sur \(U\), et l’égalité vaut alors encore.

La démonstration, admise ici, découpe \(U\) en petits cubes. Sur chacun, \(\varphi\) est proche de sa différentielle, et le théorème linéaire donne le volume de l’image. En pratique, on retient la règle formelle \(dy = |J_\varphi(x)|\, dx\). Par ailleurs, on peut retirer de \(U\) et de \(V\) des parties négligeables : cela ne change aucune intégrale et permet souvent d’obtenir une bijection.

Pour calculer une intégrale multiple par changement de variables :

• choisir de nouvelles variables qui simplifient le domaine (bornes constantes) ou l’intégrande ;
• vérifier que \(\varphi\) est une bijection \(C^1\) d’un ouvert sur un ouvert, de réciproque \(C^1\), quitte à retirer une partie négligeable ;
• calculer le jacobien, en valeur absolue, et décrire précisément le nouveau domaine ;
• conclure par Fubini-Tonelli sur le nouveau domaine, souvent un pavé.

Soit \(Q = \{ (x, y) : |x| + |y| < 1 \}\). Posons \(u = x + y\) et \(v = x – y\). Alors \(Q\) correspond au carré \(]-1, 1[^2\) et \(|\det \begin{pmatrix} 1 1 \\ 1 -1 \end{pmatrix}| = 2\), donc \(du\, dv = 2\, dx\, dy\). Par conséquent,
\[\iint_Q (x + y)^2\, dx\, dy = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} u^2\, du\, dv = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times 2 = \frac{2}{3}.\]

L’application \(\varphi(r, \theta) = (r \cos\theta, r \sin\theta)\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(]0, +\infty[ \times ]-\pi, \pi[\) sur \(\mathbb{R}^2\) privé de la demi-droite \(\mathbb{R}_{-} \times \{0\}\), qui est négligeable. Son jacobien vaut \(r\). Ainsi, pour \(f \geq\, 0\) borélienne,
\[\iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y)\, dx\, dy = \int_{-\pi}^{\pi} \int_0^{+\infty} f(r \cos\theta, r \sin\theta)\, r\, dr\, d\theta.\]

Intégrale de Gauss. On a \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}\).

Notons \(G = \int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\, dx\), finie par comparaison. D’abord, Tonelli appliqué à la fonction positive \(e^{-x^2 – y^2} = e^{-x^2} e^{-y^2}\) donne \(\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)}\, dx\, dy = G^2\). Ensuite, en coordonnées polaires,
\[G^2 = \int_{-\pi}^{\pi} \int_0^{+\infty} e^{-r^2} r\, dr\, d\theta = 2\pi [ -\frac{e^{-r^2}}{2} ]_0^{+\infty} = \pi.\]
Comme \(G > 0\), on conclut \(G = \sqrt{\pi}\).

Par Tonelli sur \(n\) variables, \(\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\|x\|^2}\, dx = \pi^{n/2}\). Par ailleurs, le changement de variable \(x = \sqrt{t}\) donne \(\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\), où \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t}\, dt\).

Posons \(\Phi(r, \theta, \phi) = (r \sin\phi \cos\theta, r \sin\phi \sin\theta, r \cos\phi)\), où \(\phi\) est l’angle avec l’axe vertical. Sur \(]0, +\infty[ \times ]-\pi, \pi[ \times ]0, \pi[\), c’est un \(C^1\)-difféomorphisme sur \(\mathbb{R}^3\) privé d’un demi-plan négligeable. Son jacobien vaut \(r^2 \sin\phi\), d’où la règle \(dx\, dy\, dz = r^2 \sin\phi\, dr\, d\theta\, d\phi\).

Le volume de la boule unité de \(\mathbb{R}^3\) vaut
\[\int_{-\pi}^{\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 r^2 \sin\phi\, dr\, d\phi\, d\theta = 2\pi \times 2 \times \frac{1}{3} = \frac{4\pi}{3}.\]

Notons \(V_n = \lambda_n(B_n)\), où \(B_n\) est la boule unité euclidienne fermée de \(\mathbb{R}^n\). Alors \(V_n = \frac{2\pi}{n} V_{n-2}\) pour \(n \geq\, 3\), et
\[V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.\]
En particulier, \(V_1 = 2\), \(V_2 = \pi\), \(V_3 = \frac{4\pi}{3}\), \(V_4 = \frac{\pi^2}{2}\).

Écrivons un point de \(\mathbb{R}^n\) sous la forme \((x, y, z)\) avec \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) et \(z \in \mathbb{R}^{n-2}\). Le point est dans \(B_n\) si et seulement si \(x^2 + y^2 \leq\, 1\) et \(\|z\|^2 \leq\, 1 – x^2 – y^2\). La section correspondante est une boule de rayon \(\sqrt{1 – x^2 – y^2}\) dans \(\mathbb{R}^{n-2}\). Son volume vaut donc \(V_{n-2} (1 – x^2 – y^2)^{(n-2)/2}\), par l’effet d’une homothétie. Par Tonelli, puis en coordonnées polaires,
\[V_n = V_{n-2} \int_{-\pi}^{\pi} \int_0^1 (1 – r^2)^{\frac{n-2}{2}} r\, dr\, d\theta = 2\pi V_{n-2} [ -\frac{(1 – r^2)^{n/2}}{n} ]_0^1 = \frac{2\pi}{n} V_{n-2}.\]
Enfin, la formule avec \(\Gamma\) est vraie pour \(n = 1\) et \(n = 2\), et elle vérifie la même récurrence, car \(\Gamma(\frac{n}{2} + 1) = \frac{n}{2}\, \Gamma(\frac{n}{2})\).

Soit \(f, g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}\) boréliennes. Le produit de convolution de \(f\) et \(g\) est, lorsque l’intégrale converge absolument,
\[(f * g)(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x – y)\, g(y)\, dy.\]

Si \(f, g \in L^1(\mathbb{R}^n)\), alors \((f * g)(x)\) est défini pour presque tout \(x\), la fonction \(f * g\) est intégrable, et
\[\|f * g\|_1 \leq\, \|f\|_1 \|g\|_1, \qquad \int f * g = \int f \int g.\]
De plus, \(f * g = g * f\) et \((f * g) * h = f * (g * h)\).

La fonction \(F(x, y) = f(x – y) g(y)\) est borélienne sur \(\mathbb{R}^{2n}\), car \((x, y) \mapsto x – y\) est continue. Par Tonelli, puis par invariance de \(\lambda_n\) par translation,
\[\iint |F(x, y)|\, dx\, dy = \int |g(y)| ( \int |f(x – y)|\, dx ) dy = \|f\|_1 \|g\|_1 < +\infty.\]
Ainsi \(F\) est intégrable. Le théorème de Fubini montre alors que \(x \mapsto \int F(x, y)\, dy\) est définie presque partout et intégrable, avec la majoration annoncée. On obtient \(\int f * g\) de la même manière, sans les valeurs absolues. Enfin, le changement de variable \(y \mapsto x – y\), de jacobien \(\pm 1\), donne la commutativité.

Pour \(f = \mathbf{1}_{[0,1]}\), on a \((f * f)(x) = \lambda([0, 1] \cap [x – 1, x])\). Ainsi, \(f * f(x) = x\) sur \([0, 1]\), \(f * f(x) = 2 – x\) sur \([1, 2]\), et \(0\) ailleurs : c’est la fonction « triangle ».

Soit \(f \in L^1(\mathbb{R}^n)\) et \(g\) bornée. Alors \(f * g\) est définie partout, bornée par \(\|f\|_1 \|g\|_\infty\), et uniformément continue. Si de plus \(g\) est de classe \(C^1\) avec \(g\) et \(\nabla g\) bornés, alors \(f * g\) est \(C^1\) et \(\partial_i (f * g) = f * \partial_i g\).

Pour étudier un produit de convolution :

• justifier l’existence par Tonelli sur \(|f(x – y) g(y)|\), ou par une majoration directe si l’une des fonctions est bornée ;
• pour un calcul explicite, décrire le support de \(y \mapsto f(x – y) g(y)\) selon la position de \(x\) ;
• pour la régularité, faire porter les dérivées sur le facteur le plus régulier.