Ce QCM vérifie les notions de limite et de continuité et les grands théorèmes démontrés à partir de la borne supérieure : valeurs intermédiaires, bornes atteintes et bijection continue. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Limites et continuité des fonctions du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Limites et continuité - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Comment montrer que \(x \mapsto \sin\frac{1}{x}\) n’a pas de limite en \(0\) ?
AAvec les suites \(\frac{1}{2n\pi}\) et \(\frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}\), dont les images tendent vers \(0\) et \(1\)
BEn appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre \(-1\) et \(1\)
CEn montrant que la fonction n’est pas bornée au voisinage de \(0\)
DAvec la seule suite \(\frac{1}{n}\), dont les images n’ont pas de limite évidente
Question 2
Quelle valeur faut-il donner en \(0\) à \(x \mapsto \frac{1 - \cos x}{x^2}\) pour la prolonger par continuité ?
A\(0\)
B\(2\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(1\)
Question 3
Quelle hypothèse est essentielle dans le théorème des valeurs intermédiaires ?
A\(f\) est monotone sur son ensemble de définition
B\(f\) est continue sur une réunion d’intervalles
C\(f\) est continue sur un intervalle
D\(f\) est dérivable sur un ouvert quelconque
Question 4
Laquelle de ces fonctions est bornée et atteint ses bornes ?
A\(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \(]0, 1]\)
B\(x \mapsto x\sin x\) sur \([0, \pi]\)
C\(\operatorname{Arctan}\) sur \(\mathbb{R}\)
D\(x \mapsto x\) sur \(]0, 1[\)
Question 5
Quelle est l’image du segment \([-1, 2]\) par \(f : x \mapsto x^2\) ?
A\(\left]0, 4\right]\)
B\([-1, 4]\)
C\([1, 4]\)
D\([0, 4]\)
Question 6
Quelle propriété possède toute fonction continue et injective sur un intervalle ?
AElle est surjective sur \(\mathbb{R}\)
BElle est strictement monotone
CElle est dérivable sauf en un nombre fini de points
DElle est strictement croissante
Question 7
Soit \(f\) continue et strictement croissante sur \([a, b]\). Sur quel ensemble \(f\) réalise-t-elle une bijection de \([a, b]\) ?
A\([f(a), f(b)]\)
B\(\left]f(a), f(b)\right[\)
C\(\mathbb{R}\)
D\([a, b]\)
Question 8
Combien de solutions réelles l’équation \(x^5 + x - 1 = 0\) possède-t-elle ?
A\(1\)
B\(5\)
C\(3\)
D\(0\)
Question 9
Par dichotomie en partant de \([1, 2]\), combien d’étapes faut-il au minimum pour encadrer une racine dans un intervalle de longueur au plus \(10^{-2}\) ?
A\(6\)
B\(7\)
C\(10\)
D\(100\)
Question 10
Soit \(f\) croissante sur \(]0, 1[\). Que peut-on affirmer en \(1^-\) ?
A\(f\) peut n’avoir aucune limite
B\(f\) se prolonge par continuité en \(1\)
C\(f\) admet une limite finie
D\(f\) admet une limite, finie ou égale à \(+\infty\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de limites et continuité en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la caractérisation séquentielle pour prouver l’absence de limite ;
le prolongement par continuité ;
le théorème des valeurs intermédiaires et la dichotomie ;
le théorème des bornes atteintes et l’image d’un segment ;
la bijection continue strictement monotone et le théorème de la limite monotone.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : appliquer le théorème des bornes atteintes sur un intervalle qui n’est pas un segment. Sur \(]0, 1]\), la fonction continue \(x \mapsto \frac{1}{x}\) n’est même pas bornée.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour chaque théorème, apprenez un contre-exemple montrant que chaque hypothèse est nécessaire : cela évite de les oublier en colle et donne les bons réflexes pour les questions « vrai ou faux ». Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Non, seulement l’existence. Pour l’unicité, il faut en plus la stricte monotonie, et c’est alors le théorème de la bijection qui conclut.
Comment montrer qu’une fonction n’a pas de limite en un point ?
On exhibe deux suites tendant vers ce point dont les images ont des limites différentes (ou une suite dont les images divergent) : c’est la caractérisation séquentielle.
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