Corrigé du contrôle de maths 6ème : angles et symétrie axiale

Exercice 1 : Nature et mesure d’angles (3 points)

1. Un angle aigu mesure moins de \(90^\circ\), un angle droit \(90^\circ\), un angle obtus entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\), un angle plat \(180^\circ\).
   \(35^\circ\) : aigu ; \(90^\circ\) : droit ; \(128^\circ\) : obtus ; \(180^\circ\) : plat.
2. Les points \(A\), \(O\) et \(B\) sont alignés dans cet ordre, donc \(\widehat{AOB}\) est un angle plat : \(\widehat{AOB} = 180^\circ\). Les angles \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont adjacents et forment l’angle plat.
   \(\widehat{COB} = 180^\circ – 58^\circ = 122^\circ\).
   \(\widehat{COB} = 122^\circ\).
3. La demi-droite \([Oz)\) partage l’angle droit en deux angles adjacents : \(\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = 90^\circ\).
   \(\widehat{zOy} = 90^\circ – 27^\circ = 63^\circ\).
   \(\widehat{zOy} = 63^\circ\).

Barème : a) 1 point : 0,25 par angle correctement classé ; b) 1 point : 0,5 pour l’angle plat, 0,5 pour le résultat ; c) 1 point : 0,5 pour l’angle droit de 90°, 0,5 pour le résultat.

Exercice 2 : Somme des angles d’un triangle (4 points)

1. La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à \(180^\circ\).
   \(48^\circ + 67^\circ = 115^\circ\).
   \(\widehat{ACB} = 180^\circ – 115^\circ = 65^\circ\).
   \(\widehat{ACB} = 65^\circ\).
2. Le triangle \(DEF\) est rectangle en \(E\), donc \(\widehat{DEF} = 90^\circ\). La somme des angles du triangle vaut \(180^\circ\).
   \(\widehat{EFD} = 180^\circ – 90^\circ – 38^\circ = 52^\circ\).
   \(\widehat{EFD} = 52^\circ\).
3. \(95^\circ + 50^\circ + 40^\circ = 185^\circ\).
   Ce n’est pas possible, car la somme des angles d’un triangle doit être égale à \(180^\circ\), et \(185^\circ \neq 180^\circ\).

Erreur fréquente : oublier l’angle droit de \(90^\circ\) dans le triangle rectangle et répondre \(142^\circ\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour la propriété citée, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour le résultat ; b) 1,5 point : 0,5 pour l’angle droit, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour le résultat ; c) 1 point : 0,5 pour la somme 185°, 0,5 pour la conclusion justifiée.

Exercice 3 : Ce que conserve la symétrie (4 points)

1. La symétrie axiale conserve les longueurs : le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
   \(R^{\prime}S^{\prime} = RS = 5\text{ cm}\) et \(S^{\prime}T^{\prime} = ST = 7\text{ cm}\).
2. La symétrie axiale conserve les mesures des angles.
   \(\widehat{R^{\prime}S^{\prime}T^{\prime}} = \widehat{RST} = 57^\circ\).
3. Les longueurs étant conservées, \(R^{\prime}T^{\prime} = RT = 6\text{ cm}\).
   \(5 + 7 + 6 = 18\).
   Le périmètre du triangle \(R^{\prime}S^{\prime}T^{\prime}\) est \(18\text{ cm}\), le même que celui de \(RST\).
4. Un point situé sur l’axe de symétrie est son propre symétrique.
   Le symétrique de \(M\) est le point \(M\) lui-même.

Barème : a) 1 point : 0,5 pour les deux longueurs, 0,5 pour la propriété ; b) 1 point : 0,5 pour la mesure, 0,5 pour la propriété ; c) 1 point : 0,5 pour \(R^{\prime}T^{\prime} = 6\text{ cm}\), 0,5 pour le périmètre ; d) 1 point.

Exercice 4 : Axes de symétrie (4 points)

1. Carré : 4 axes (ses deux diagonales et les deux médiatrices de ses côtés).
   Rectangle non carré : 2 axes (les médiatrices de ses côtés ; ses diagonales ne sont pas des axes).
   Triangle équilatéral : 3 axes (les médiatrices de ses trois côtés).
   Cercle : une infinité d’axes (toutes les droites qui passent par son centre).
2. A : 1 axe vertical. B : 1 axe horizontal. H : 2 axes, un vertical et un horizontal. N : aucun axe. Z : aucun axe.
   Les lettres N et Z se superposent à elles-mêmes après un demi-tour, mais pas par pliage : ce n’est pas une symétrie axiale.

   

3. Oui : un losange a 2 axes de symétrie, qui sont ses deux diagonales.

Erreur fréquente : affirmer que les diagonales d’un rectangle sont des axes de symétrie. Un pliage le long d’une diagonale ne fait pas coïncider les deux moitiés.

Barème : a) 2 points : 0,5 par figure ; b) 1,5 point si les cinq lettres sont justes, 1 point pour quatre, 0,5 pour trois ; c) 0,5 point.

Exercice 5 : Le triangle et son symétrique (5 points)

Figure complétée avec le point \(A^{\prime}\) et les angles trouvés :

1. La somme des angles du triangle \(ABC\) est égale à \(180^\circ\).
   \(\widehat{ACB} = 180^\circ – 70^\circ – 50^\circ = 60^\circ\).
   \(\widehat{ACB} = 60^\circ\).
2. Les points \(B\) et \(C\) sont sur l’axe \((BC)\) : ils sont leurs propres symétriques. Le symétrique de l’angle \(\widehat{ABC}\) est donc l’angle \(\widehat{A^{\prime}BC}\), et celui de \(\widehat{ACB}\) est \(\widehat{A^{\prime}CB}\). La symétrie axiale conserve les mesures des angles.
   \(\widehat{A^{\prime}BC} = \widehat{ABC} = 50^\circ\) et \(\widehat{A^{\prime}CB} = \widehat{ACB} = 60^\circ\).
3. \(A\) et \(A^{\prime}\) sont de part et d’autre de \((BC)\), donc les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{CBA^{\prime}}\) sont adjacents et forment l’angle \(\widehat{ABA^{\prime}}\).
   \(\widehat{ABA^{\prime}} = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ\).
   \(\widehat{ABA^{\prime}} = 100^\circ\).
4. Si deux points sont symétriques par rapport à une droite, alors cette droite est la médiatrice du segment qui les joint.
   La droite \((BC)\) est la médiatrice du segment \([AA^{\prime}]\) ; les droites \((AA^{\prime})\) et \((BC)\) sont donc perpendiculaires.
5. Le segment \([A^{\prime}B]\) est le symétrique du segment \([AB]\), et la symétrie conserve les longueurs.
   \(A^{\prime}B = AB = 4\text{ cm}\).

Erreur fréquente : répondre \(\widehat{ABA^{\prime}} = 50^\circ\) en ne prenant qu’un seul des deux angles.

Barème : a) 1 point : 0,5 pour la propriété, 0,5 pour le résultat ; b) 1,5 point : 0,5 pour les points invariants B et C, 0,5 par angle ; c) 1 point : 0,5 pour l’addition des deux angles, 0,5 pour 100° ; d) 1 point : 0,5 pour « médiatrice », 0,5 pour « perpendiculaires » ; e) 0,5 point.

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Après le corrigé du contrôle : angles et symétrie axiale

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