Contrôle de maths 6ème : cercle, médiatrice et cercle circonscrit

Exercice 1 : Le vocabulaire du cercle (4 points)

Calculatrice interdite.

Sur la figure ci-dessous, le cercle a pour centre O et pour rayon \(3{,}5\text{ cm}\). Les points A, B, M et N sont sur le cercle ; O est le milieu du segment [AB] et le segment [MN] ne passe pas par O.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Que représente le segment [OA] pour ce cercle ? (0,5 point)
2. Comment appelle-t-on le segment [AB] ? Calcule sa longueur. (1 point)
3. Comment appelle-t-on le segment [MN] ? Nora affirme que MN peut mesurer \(8\text{ cm}\). A-t-elle raison ? Justifie. (1 point)
4. Le point P est tel que \(OP = 5\text{ cm}\). Le point P est-il à l’intérieur du disque, sur le cercle ou à l’extérieur ? (0,5 point)
5. Le point R est tel que \(OR = 3{,}5\text{ cm}\) et le point S est tel que \(OS = 2\text{ cm}\). Précise la position de chacun de ces deux points par rapport au cercle. (1 point)

Exercice 2 : Des points à égale distance (4 points)

Deux points E et F sont tels que \(EF = 6\text{ cm}\).

1. Décris une construction au compas de tous les points situés à \(4\text{ cm}\) de E et à \(4\text{ cm}\) de F. Combien y a-t-il de tels points ? (1,5 point)
2. Existe-t-il un point situé à \(2\text{ cm}\) de E et à \(2\text{ cm}\) de F ? Justifie. (1,5 point)
3. Quel est le seul point situé à \(3\text{ cm}\) de E et à \(3\text{ cm}\) de F ? (1 point)

Exercice 3 : Définition et propriété de la médiatrice (4 points)

Le segment [KL] mesure \(8\text{ cm}\). La droite d est la médiatrice du segment [KL] ; elle coupe [KL] au point H.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Recopie et complète la définition : « La médiatrice d’un segment est la droite qui … ». (1 point)
2. Donne la longueur KH et la mesure de l’angle formé par les droites d et (KL). (1 point)
3. Le point S est sur la droite d et \(SK = 5\text{ cm}\). Quelle est la longueur SL ? Justifie en citant une propriété. (1 point)
4. Le point T est tel que \(TK = 6\text{ cm}\) et \(TL = 7\text{ cm}\). Le point T est-il sur la droite d ? Justifie. (1 point)

Exercice 4 : Le cercle circonscrit à un triangle (4 points)

ABC est un triangle quelconque. On appelle O le point d’intersection de la médiatrice de [AB] et de la médiatrice de [BC].

1. Écris un programme de construction, en trois étapes, permettant de placer le point O à la règle et au compas. (1,5 point)
2. Démontre que \(OA = OB = OC\). (1,5 point)
3. On mesure \(OA = 4{,}2\text{ cm}\). Quel est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC ? Quel est son diamètre ? (1 point)

Exercice 5 : La chasse au trésor (4 points)

Sur le plan d’un jardin, on a placé un puits P et une cabane K tels que \(PK = 6\text{ cm}\), ainsi qu’un vieux chêne C. Le message du pirate dit : « Le trésor T est à la même distance du puits et de la cabane, et il est à \(3\text{ cm}\) du chêne. »

1. Sur quelle droite se trouve le point T ? Justifie. (1 point)
2. Sur quelle figure géométrique se trouve aussi le point T ? (1 point)
3. Explique comment trouver la position du trésor sur le plan. Combien de positions possibles peut-il y avoir, au maximum ? (1 point)
4. Dans cette question, le chêne C est au milieu du segment [PK]. Léo affirme que le puits P est une position possible du trésor, car \(CP = 3\text{ cm}\). A-t-il raison ? Justifie. (1 point)

Réviser avant le contrôle : cercle, médiatrice et cercle circonscrit

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Droites parallèles et perpendiculaires » en 6ème et « Cercle, triangle et quadrilatère » en 6ème et « Médiatrice d’un segment » en 6ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés droites parallèles et perpendiculaires, cercle, médiatrice d’un segment.

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