Corrigé du contrôle de maths 6ème : cercle, médiatrice et cercle circonscrit

Exercice 1 : Le vocabulaire du cercle (4 points)

1. O est le centre du cercle et A est un point du cercle, donc [OA] est un rayon du cercle, et \(OA = 3{,}5\text{ cm}\).
2. Le segment [AB] relie deux points du cercle et passe par son centre O : [AB] est un diamètre du cercle. Le diamètre mesure le double du rayon :
   
   \(AB = 2 \times 3{,}5 = 7\)
   
   Donc \(AB = 7\text{ cm}\).
3. Le segment [MN] relie deux points du cercle sans passer par le centre : [MN] est une corde du cercle. La plus longue corde d’un cercle est un diamètre, qui mesure ici \(7\text{ cm}\). Comme \(8 > 7\), une corde de ce cercle ne peut pas mesurer \(8\text{ cm}\). Nora a tort.
4. \(OP = 5\text{ cm}\) et \(5 > 3{,}5\) : la distance de P au centre est plus grande que le rayon. Le point P est à l’extérieur du cercle.
5. \(OR = 3{,}5\text{ cm}\), c’est exactement le rayon : R est sur le cercle.
   
   \(OS = 2\text{ cm}\) et \(2 < 3{,}5\) : S est à l’intérieur du disque (à l’intérieur du cercle).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour le mot « diamètre », 0,5 point pour 7 cm ; c) 0,5 point pour le mot « corde », 0,5 point pour la justification par le diamètre ; d) 0,5 point avec la comparaison ; e) 0,5 point par point bien placé.

Erreur fréquente : confondre corde et diamètre. Un diamètre est une corde particulière, celle qui passe par le centre.

Exercice 2 : Des points à égale distance (4 points)

1. Les points situés à \(4\text{ cm}\) de E sont sur le cercle de centre E et de rayon \(4\text{ cm}\). Les points situés à \(4\text{ cm}\) de F sont sur le cercle de centre F et de rayon \(4\text{ cm}\).
   
   Construction : j’écarte le compas de \(4\text{ cm}\), je trace le cercle de centre E, puis, sans changer l’écartement, le cercle de centre F. Les points cherchés sont les points d’intersection de ces deux cercles.
   
   Comme \(4 + 4 = 8\) et \(8 > 6\), les deux cercles se coupent en deux points, un de chaque côté de la droite (EF). Il y a 2 points.
2. Un point à \(2\text{ cm}\) de E et à \(2\text{ cm}\) de F serait sur le cercle de centre E de rayon \(2\text{ cm}\) et sur le cercle de centre F de rayon \(2\text{ cm}\).
   
   Or \(2 + 2 = 4\) et \(4 < 6\). Le plus court chemin de E à F est le segment [EF], qui mesure \(6\text{ cm}\) ; un chemin de E à F passant par ce point ne mesurerait que \(4\text{ cm}\), ce qui est impossible. Les deux cercles ne se coupent pas. Un tel point n’existe pas.
3. \(3 + 3 = 6 = EF\) : les deux cercles de rayon \(3\text{ cm}\) se touchent en un seul point, sur le segment [EF], à \(3\text{ cm}\) de chaque extrémité. C’est le milieu du segment [EF].

Barème : a) 1 point pour la construction avec les deux cercles, 0,5 point pour « 2 points » ; b) 0,5 point pour « non », 1 point pour la justification ; c) 1 point.

Exercice 3 : Définition et propriété de la médiatrice (4 points)

1. La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
2. La droite d passe par le milieu de [KL], donc H est le milieu de [KL] :
   
   \(KH = 8 : 2 = 4\)
   
   \(KH = 4\text{ cm}\). La droite d est perpendiculaire à (KL) : l’angle mesure \(90^\circ\) (angle droit).
3. Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance des extrémités de ce segment. S est sur d, la médiatrice de [KL], donc \(SL = SK\). \(SL = 5\text{ cm}\).
4. \(TK = 6\text{ cm}\) et \(TL = 7\text{ cm}\), donc \(TK \neq TL\) : T n’est pas à égale distance de K et de L. Or tout point de la médiatrice est à égale distance de K et de L. Le point T n’est pas sur la droite d.

Barème : a) 0,5 point pour « perpendiculaire », 0,5 point pour « passe par le milieu » ; b) 0,5 point pour 4 cm, 0,5 point pour 90° ; c) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour 5 cm ; d) 1 point avec justification.

Erreur fréquente : oublier l’une des deux conditions de la définition. Une perpendiculaire qui ne passe pas par le milieu n’est pas la médiatrice.

Exercice 4 : Le cercle circonscrit à un triangle (4 points)

1. Programme de construction :
   
   1. Je trace la médiatrice de [AB] : avec un écartement du compas plus grand que la moitié de AB, je trace deux arcs de centre A et deux arcs de centre B, de part et d’autre de [AB] ; je relie les deux points d’intersection.
   
   2. Je trace de la même façon la médiatrice de [BC].
   
   3. Je place le point O à l’intersection de ces deux médiatrices.
2. O est sur la médiatrice de [AB]. Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance des extrémités de ce segment, donc \(OA = OB\).
   
   O est aussi sur la médiatrice de [BC], donc, pour la même raison, \(OB = OC\).
   
   On en déduit \(OA = OB = OC\). Le cercle de centre O passant par A passe donc aussi par B et C : c’est le cercle circonscrit au triangle.
3. Le rayon est la distance du centre O à un sommet : le rayon mesure \(4{,}2\text{ cm}\).
   
   \(2 \times 4{,}2 = 8{,}4\), le diamètre mesure \(8{,}4\text{ cm}\).

Barème : a) 0,5 point par étape ; b) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour OA = OB, 0,5 point pour OB = OC ; c) 0,5 point pour le rayon, 0,5 point pour le diamètre.

Exercice 5 : La chasse au trésor (4 points)

1. T est à la même distance de P et de K. Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment. T est sur la médiatrice du segment [PK].
2. T est à \(3\text{ cm}\) de C : T est sur le cercle de centre C et de rayon \(3\text{ cm}\).
3. Je trace la médiatrice de [PK], puis le cercle de centre C et de rayon \(3\text{ cm}\). Le trésor se trouve à un point d’intersection de cette droite et de ce cercle. Une droite et un cercle ont 0, 1 ou 2 points communs : il y a au maximum 2 positions possibles.
4. Le trésor doit être à la même distance du puits et de la cabane. Pour le point P : la distance au puits est \(0\text{ cm}\) et la distance à la cabane est \(PK = 6\text{ cm}\). Ces distances sont différentes, donc P n’est pas sur la médiatrice de [PK]. Léo a tort : P respecte la condition du chêne, mais pas celle du puits et de la cabane.

Exemple de construction avec un chêne placé à 3 cm au-dessus de la droite (PK) : il y a ici deux positions possibles, T₁ et T₂.

Barème : a) 0,5 point pour « médiatrice de [PK] », 0,5 point pour la propriété ; b) 1 point (centre et rayon) ; c) 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour « 2 au maximum » ; d) 1 point avec justification.

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Après le corrigé du contrôle : cercle, médiatrice et cercle circonscrit

Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Droites parallèles et perpendiculaires » en 6ème et « Cercle, triangle et quadrilatère » en 6ème et « Médiatrice d’un segment » en 6ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés droites parallèles et perpendiculaires, cercle, médiatrice d’un segment.

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