Corrigé du contrôle de maths 6ème : comparer, ajouter et soustraire des fractions

Exercice 1 : Fractions égales (4 points)

Une fraction ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

1. \(12 = 4 \times 3\), donc on multiplie aussi 3 par 3 : \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\).

   \(20 = 5 \times 4\), donc on multiplie aussi 2 par 4 : \(\frac{2}{5} = \frac{8}{20}\).

   \(24 : 6 = 4\), donc on divise aussi 18 par 6 : \(\frac{18}{24} = \frac{3}{4}\).

   \(21 = 7 \times 3\), donc le dénominateur cherché vérifie \(? \times 3 = 30\), soit \(30 : 3 = 10\) : \(\frac{7}{10} = \frac{21}{30}\).

2. On divise par 5 : \(\frac{15}{25} = \frac{3}{5}\). On divise par 12 : \(\frac{12}{36} = \frac{1}{3}\). \(\frac{15}{25} = \frac{3}{5}\) et \(\frac{12}{36} = \frac{1}{3}\).
3. \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) en divisant par 2 ; \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) en divisant par 3 ; \(\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\) en divisant par 4. En revanche \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) et \(\frac{10}{12} \neq \frac{8}{12}\). Les fractions égales à \(\frac{2}{3}\) sont \(\frac{4}{6}\), \(\frac{6}{9}\) et \(\frac{8}{12}\).

Barème : a) 0,5 point par égalité ; b) 0,5 point par fraction simplifiée (0,25 point si la fraction est simplifiée mais pas au maximum) ; c) 0,5 point pour les trois bonnes fractions, 0,5 point pour la justification.

Exercice 2 : Comparer des fractions (4 points)

1. Une fraction est inférieure à 1 quand son numérateur est plus petit que son dénominateur, supérieure à 1 quand il est plus grand. \(\frac{7}{9} < 1\) ; \(\frac{12}{11} > 1\) ; \(\frac{5}{5} = 1\) ; \(\frac{13}{20} < 1\).

2. Même dénominateur : on compare les numérateurs, et \(5 > 3\). \(\frac{5}{8} > \frac{3}{8}\).

   \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) et \(7 < 8\). \(\frac{7}{12} < \frac{2}{3}\).

   \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\) et \(6 < 7\). \(\frac{3}{4} < \frac{7}{8}\).

3. On écrit toutes les fractions avec le dénominateur 12 :
   \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\) ; \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) ; \(\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\).
   Or \(\frac{6}{12} < \frac{7}{12} < \frac{8}{12} < \frac{10}{12}\). Dans l’ordre croissant : \(\frac{1}{2} < \frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6}\).

Erreur fréquente : ranger les fractions selon leur dénominateur seul. \(\frac{1}{2}\) a le plus petit dénominateur, mais ce n’est pas pour cela qu’elle est la plus grande.

Barème : a) 0,25 point par comparaison ; b) 0,5 point par comparaison justifiée ; c) 1 point pour la mise au même dénominateur, 0,5 point pour le rangement final.

Exercice 3 : Encadrer et repérer sur une droite graduée (3 points)

1. \(\frac{15}{5} = 3\) et \(\frac{20}{5} = 4\), avec \(15 < 17 < 20\). \(3 < \frac{17}{5} < 4\).

   \(\frac{20}{4} = 5\) et \(\frac{24}{4} = 6\), avec \(20 < 23 < 24\). \(5 < \frac{23}{4} < 6\).

   \(\frac{8}{2} = 4\) et \(\frac{10}{2} = 5\), avec \(8 < 9 < 10\). \(4 < \frac{9}{2} < 5\).

2. Le segment [OI] est partagé en 6 parts égales, donc chaque graduation vaut \(\frac{1}{6}\). On compte les graduations depuis O : 5 pour A, 9 pour B et 14 pour C.
   A a pour abscisse \(\frac{5}{6}\) ; B a pour abscisse \(\frac{9}{6} = \frac{3}{2}\) ; C a pour abscisse \(\frac{14}{6} = \frac{7}{3}\).

   

Barème : a) 0,5 point par encadrement ; b) 0,5 point par abscisse (0,25 point si la fraction est juste mais non simplifiée pour B ou C).

Exercice 4 : Additionner et soustraire (5 points)

1. Même dénominateur : on additionne les numérateurs. \(\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7}\)
2. \(\frac{11}{9} – \frac{4}{9} = \frac{7}{9}\)
3. 8 est un multiple de 4 : \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\).
   \(\frac{1}{4} + \frac{5}{8} = \frac{2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{7}{8}\)
4. 6 est un multiple de 3 : \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\).
   \(\frac{5}{6} – \frac{2}{3} = \frac{5}{6} – \frac{4}{6} = \frac{1}{6}\)
5. On multiplie le numérateur par l’entier : \(4 \times \frac{2}{9} = \frac{4 \times 2}{9}\). \(4 \times \frac{2}{9} = \frac{8}{9}\)
6. \(2 = \frac{10}{5}\).
   \(2 + \frac{3}{5} = \frac{10}{5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}\)

Erreur fréquente : additionner les dénominateurs, par exemple écrire \(\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{14}\). Le dénominateur indique la taille des parts, il ne change pas.

Barème : a) et b) 0,5 point chacune ; c), d), e) et f) 0,5 point pour la méthode (fraction égale ou multiplication du numérateur), 0,5 point pour le résultat.

Exercice 5 : Le potager de Lina (4 points)

1. 10 est un multiple de 5 : \(\frac{1}{5} = \frac{2}{10}\).
   \(\frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\).
   Les tomates et les salades occupent \(\frac{5}{10}\), c’est-à-dire la moitié du jardin.
2. Les fleurs occupent \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\) du jardin.
   Partie plantée : \(\frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10}\).
   Le jardin entier correspond à \(\frac{10}{10}\), donc le gazon occupe \(\frac{10}{10} – \frac{9}{10} = \frac{1}{10}\).
   Le gazon recouvre \(\frac{1}{10}\) du jardin.
3. On calcule \(\frac{1}{10}\) de \(60\text{ m}^2\) : \(60 : 10 = 6\). Le gazon occupe une aire de \(6\text{ m}^2\).

Le jardin partagé en dixièmes permet de tout vérifier d’un coup d’œil :

Barème : a) 0,5 point pour \(\frac{1}{5} = \frac{2}{10}\), 0,5 point pour la somme, 0,5 point pour le résultat (\(\frac{5}{10}\) ou \(\frac{1}{2}\) accepté) ; b) 0,5 point pour \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\), 0,5 point pour la partie plantée, 0,5 point pour \(\frac{1}{10}\) ; c) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour le résultat avec l’unité.

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Après le corrigé du contrôle : comparer, ajouter et soustraire des fractions

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