Bac S 2019 Antilles Guyane: tema y respuestas

bachillerato de matemáticas

G E N E R A L B A C A L A U R E A T
SESIÓN 2019
MATEMÁTICAS
Serie: S
TIEMPO DE PRUEBA: 4 horas. – COEFICIENTE: 7

Ejercicio 1: (6 puntos)
Común a todos los candidatos
Parte A
Sean a y b números reales. Consideremos una función definida en [0; +∞[ por

A continuación se muestra la curva Cf que representa la función en un sistema de referencia ortogonal.
La curva Cf pasa por el punto A(0; 0,5).
La tangente a la curva Cf en el punto A pasa por el punto B(10; 1).

1. Justifica que a = 1.

2. Se supone que la función f es diferenciable en [0; +∞[ y f ‘ se denota como su función
derivados.

3. A partir de los datos del enunciado, determina b.

Parte B
La proporción de individuos que poseen un determinado tipo de equipamiento en una
población se modela mediante la función p definida en [0 ; +∞[ por

El real representa el tiempo transcurrido, en años, desde el 1 de enero de 2000.
El número p(x) modela la proporción de individuos equipados al cabo de x años.
Así, para este modelo, p(0) es la proporción de individuos equipados el 1 de enero de 2000
y p(3,5) es la proporción de individuos equipados a mediados de 2003.
1. ¿Cuál es, para este modelo, la proporción de individuos equipados el 1 de enero
2010 ? Se dará un valor redondeado a la centésima más próxima.
2.
a. Determina la dirección de variación de la función p en [0 ; +∞[.
b. Calcula el límite de la función p en +∞.
c. Interpreta este límite en el contexto del ejercicio.
3. Se considera que cuando la proporción de individuos equipados supera el 95%, la
mercado está saturado.
Determina, explicando el proceso, el año en que esto ocurre.
producto.
4. La proporción media de personas equipadas entre 2008 y 2010 se define como

b. Deduce una primitiva de la función p sobre [0 ; +∞[.
c. Determina el valor exacto de m y su redondeo a la centésima.

Ejercicio 2: (5 puntos)
Común a todos los candidatos
Las dos partes de este ejercicio son independientes.
Alex y Elisa, dos pilotos de drones, se entrenan en una zona llana bordeada por un obstáculo.
Consideremos un sistema de referencia ortonormal $(0,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , una unidad correspondiente a diez metros. Para modelizar el relieve de la zona, se definen seis puntos O, P, Q, T, U y V mediante
sus coordenadas en este marco:
O(0; 0; 0), P(0; 10; 0), Q(0; 11; 1), T(10; 11; 1), U(10; 10; 0) y V(10; 0; 0)
La parte plana está delimitada por el rectángulo OPUV y el obstáculo por el
rectángulo PQTU.

Los dos UAV pueden considerarse como dos puntos y se supone que siguen trayectorias rectas:
– El dron de Alex sigue la trayectoria a lo largo de la línea (AB) con A(2; 4; 0,25)
y B(2; 6; 0,75) ;
– El dron de Elisa sigue la trayectoria trazada por la recta (CD) con C(4; 6; 0,25)
y D(2; 6; 0,25).

Parte A: Investigación de la trayectoria del dron de Alex
1. Determinar una representación paramétrica de la recta (AB).
2.
a. Justifica que el vector $\vec{n}(0,;,1,;,-1)$ es un vector normal al plano (PQU).
b. Derivar una ecuación cartesiana del plano (PQU).

3. Demostrar que la recta (AB) y el plano (PQU) son secantes en el punto I de coordenadas $(2;\frac{37}{3};\frac{7}{3})$ .
4. Explica por qué, siguiendo esta trayectoria, el dron de Alex no encuentra el obstáculo.

Parte B: Distancia mínima entre las dos trayectorias
Para evitar una colisión entre sus dos aviones, Alex y Elisa imponen un
distancia mínima de 4 metros entre las trayectorias de sus drones.
El objetivo de esta sección es comprobar si se respeta esta instrucción.
Para ello, considera un punto M sobre la recta (AB) y un punto N sobre la recta (CD).
Entonces hay dos números reales y tales que $\vec{AM}=a\vec{AB}$ y $\vec{CN}=b\vec{CD}$ .
Por tanto, nos interesa la distancia MN.

1. Demostrar que las coordenadas del vector $\vec{MN}$ son (2 – 2b; 2 – 2a; -0,5a).
2. Se supone que las rectas (AB) y (CD) no son coplanarias. También se supone que la distancia MN es mínima cuando la recta (MN) es perpendicular tanto a la recta (AB) como a la recta (CD).
A continuación, demuestre que la distancia MN es mínima cuando $a=\frac{16}{17}$ y b = 1.
3. Deduce el valor mínimo de la distancia MN y concluye.

Ejercicio 3: (4 puntos)
Común a todos los candidatos
Para cada una de las cuatro afirmaciones siguientes, indique si es verdadera o falsa, exponiendo los motivos.
Se concede un punto por cada respuesta correcta que esté correctamente justificada. Un no por respuesta
El uso de una razón justificada no da puntos. La falta de respuesta no se penaliza.
El plano complejo tiene un marco de referencia ortonormal directo $(O,\vec{u},\vec{v})$ .
Consideremos el número complejo $c=\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$ y los puntos S y T con afijos c^2 y $\frac{1}{c}$ respectivamente.
1. Afirmación 1:
El número puede escribirse como $c=\frac{1}{4}(1-i\sqrt{3})$ .
2. Afirmación 2:
Para cualquier número natural , $c^{3n}$ es un número real.
3. Afirmación 3:
Los puntos O, S y T están alineados.
4. Afirmación 4:
Para cualquier número natural distinto de cero , $%7Cc%7C,+,%7Cc^2%7C,+,...,+,%7Cc^n%7C,=,1-(,\frac{1}{2},)^n$ .

Ejercicio 4: (5 puntos)
Candidatos que no han seguido el curso de especialidad
Las tres partes de este ejercicio son independientes.

Parte A
Una noche, una cadena de televisión retransmitió un partido. Este canal tiene
propuso entonces un programa de análisis del partido.
Se dispone de la siguiente información:
– El 56% de los telespectadores vieron el partido;
– una cuarta parte de los telespectadores que vieron el partido vieron también el programa;
– El 16,2% de los telespectadores vieron el programa.

Un espectador es entrevistado al azar. Se toma nota de los acontecimientos:
– M: «el espectador vio el partido»;
– E: «el espectador vio el programa».
Observamos la probabilidad de que un telespectador haya visto el programa sabiendo que no vio el partido.
1. Construye un árbol ponderado para ilustrar la situación.
2. Determine la probabilidad de $M\cap,E$ .
3. a. Compruebe que .
b. Deduzca el valor de .
4. El telespectador entrevistado no vio el programa.

¿Cuál es la probabilidad, redondeada a $10^{-2}$ , de que viera el partido?

Parte B
Para determinar la audiencia de las cadenas de televisión, un instituto demoscópico recoge información de miles de hogares franceses mediante cajas individuales.
Este instituto decide modelizar el tiempo pasado, en horas, por un telespectador ante el televisor la tarde del partido, mediante una variable aleatoria T que sigue la distribución normal de expectativa $\mu,=,1,5$ y desviación típica $\sigma,=,0,5$ .
1. ¿Cuál es la probabilidad, redondeada a $10^{-3}$ , de que un espectador haya pasado entre una y dos horas viendo la televisión la noche del partido?
2. Determinar el redondeo a $10^{-2}$ del real tal que $P(,T\geq\,,t,),=,0,066$ .
Interpreta el resultado.

Parte C
La vida útil de una caja individual, expresada en años, se modela mediante una variable aleatoria denominada S que sigue una ley exponencial de parámetro estrictamente positivo $\lambda$ .

Recordemos que la densidad de probabilidad de S es la función f definida en [0; +∞[ por
$f(x)=\lambda,e^{\lambda,x}$
El instituto de sondeos descubrió que una cuarta parte de los casos tienen una duración de entre uno y dos años.
La fábrica que fabrica las cajas afirma que su vida media es de más de tres años.
¿Es correcta la afirmación de la fábrica? La respuesta debe estar justificada.

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