Corrigé du contrôle de maths 6ème : probabilités et hasard

Exercice 1 : Le vocabulaire du hasard (4 points)

1. Aucune face ne porte le nombre 7. L’événement est impossible.
2. Toutes les faces (1, 2, 3, 4, 5, 6) portent un nombre inférieur à 7. L’événement est certain.
3. Une seule face sur six porte le 6 : une chance sur six, c’est moins d’une chance sur deux. L’événement est peu probable.
4. Cinq faces sur six (2, 3, 4, 5, 6) conviennent : c’est plus d’une chance sur deux. L’événement est probable.
5. Un événement impossible a une probabilité égale à 0, un événement certain une probabilité égale à 1, et un événement qui a une chance sur deux une probabilité égale à \(\frac{1}{2}\).
6. Une probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain). Or \(1{,}5 > 1\). Une probabilité ne peut pas valoir \(1{,}5\) : Inès se trompe.

Barème : a), b), c), d) 0,5 point chacune ; e) 1 point : 0,5 point pour 0 et 1, 0,5 point pour \(\frac{1}{2}\) ; f) 1 point : 0,5 point pour la propriété « entre 0 et 1 », 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 2 : Lancer un dé (4 points)

Le dé est équilibré : les six issues 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ont la même probabilité. La probabilité d’un événement est donc le nombre d’issues favorables divisé par 6.

1. Une seule issue est favorable : 4. La probabilité d’obtenir 4 est \(\frac{1}{6}\).
2. Les issues favorables sont 2, 4 et 6 : il y en a 3.
   \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
   La probabilité d’obtenir un nombre pair est \(\frac{1}{2}\).
3. Les multiples de 3 entre 1 et 6 sont 3 et 6 : il y a 2 issues favorables.
   \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
   La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est \(\frac{1}{3}\).
4. Les issues favorables sont 1, 2, 3, 4 et 6 : il y en a 5.
   La probabilité de ne pas obtenir 5 est \(\frac{5}{6}\).

Erreur fréquente : oublier 6 dans les multiples de 3. Un nombre est multiple de lui-même.

Barème : 1 point par question : 0,5 point pour la liste des issues favorables, 0,5 point pour la fraction (une fraction juste non simplifiée est acceptée pour 0,25 point).

Exercice 3 : L’urne de Nour (4 points)

1. \(3 + 5 + 2 = 10\). L’urne contient 10 boules.
2. Les boules sont identiques au toucher : chacune des 10 boules a la même chance d’être tirée.
   Rouge : 3 boules sur 10, donc la probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{3}{10}\).
   Bleue : \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\), donc la probabilité de tirer une boule bleue est \(\frac{1}{2}\).
   Verte : \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\), donc la probabilité de tirer une boule verte est \(\frac{1}{5}\).
3. \(\frac{3}{10} + \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{10}{10} = 1\)
   La somme vaut 1, car on est certain de tirer une boule rouge, bleue ou verte : il n’y a pas d’autre couleur dans l’urne.
4. \(\frac{5}{10}\) est la plus grande des trois probabilités. C’est la couleur bleue qui a le plus de chances d’être tirée.
5. Il y a \(3 + 5 = 8\) boules qui ne sont pas vertes.
   \(\frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)
   La probabilité de ne pas tirer une boule verte est \(\frac{4}{5}\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 1,5 point : 0,5 point par probabilité ; c) 1 point : 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour l’explication ; d) 0,5 point ; e) 0,5 point.

Exercice 4 : La roue de la kermesse (3 points)

1. Les 8 secteurs sont identiques, donc ils ont tous la même chance d’être désignés. 4 secteurs sur 8 sont jaunes.
   \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
   La probabilité d’obtenir un secteur jaune est \(\frac{1}{2}\).
2. Un seul secteur sur 8 est noir. La probabilité d’obtenir le secteur noir est \(\frac{1}{8}\).
3. Les secteurs gagnants sont les 3 violets et le noir : \(3 + 1 = 4\) secteurs sur 8.
   \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
   La probabilité de perdre est aussi \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) (les 4 secteurs jaunes).
   Non : Arthur a autant de chances de gagner que de perdre.

Barème : a) 1 point ; b) 1 point ; c) 1 point : 0,5 point pour la probabilité de gagner, 0,5 point pour la conclusion justifiée.

Exercice 5 : Deux urnes pour un jeu (5 points)

1. L’urne A contient \(3 + 2 = 5\) boules, dont 3 rouges.
   La probabilité de gagner avec l’urne A est \(\frac{3}{5}\).
2. L’urne B contient \(7 + 3 = 10\) boules, dont 7 rouges.
   La probabilité de gagner avec l’urne B est \(\frac{7}{10}\).
3. On écrit la probabilité de l’urne A avec le dénominateur 10 :
   \(\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\)
   Or \(\frac{6}{10} < \frac{7}{10}\).
   Il faut choisir l’urne B pour avoir le plus de chances de gagner.
4. Exemple : une urne C contenant 8 boules rouges et 12 boules noires, soit 20 boules. Elle contient plus de boules rouges que l’urne B (8 contre 7).
   Probabilité de gagner avec l’urne C : \(\frac{8}{20}\).
   Avec le même dénominateur, la probabilité de l’urne B est \(\frac{7}{10} = \frac{14}{20}\), et \(\frac{8}{20} < \frac{14}{20}\).
   Avec l’urne C, on a moins de chances de gagner qu’avec l’urne B : Tom a tort, car ce qui compte est la proportion de boules rouges parmi toutes les boules, pas seulement leur nombre.

Barème : a) 1 point ; b) 1 point ; c) 1,5 point : 1 point pour \(\frac{6}{10}\) et la comparaison, 0,5 point pour la conclusion ; d) 1,5 point : 0,5 point pour une urne C qui convient, 0,5 point pour sa probabilité, 0,5 point pour la comparaison justifiée. Toute urne C correcte est acceptée (par exemple 8 rouges et 8 noires, ou 10 rouges et 10 noires).

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Après le corrigé du contrôle : probabilités et hasard

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