Corrigé du contrôle de maths 6ème : construire le symétrique et ses propriétés

Exercice 1 : Ce que conserve la symétrie (4 points)

1. La symétrie axiale conserve les longueurs : le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
   
   Donc \(A^{\prime}B^{\prime} = AB = 3\text{ cm}\), \(A^{\prime}C^{\prime} = AC = 4\text{ cm}\) et \(B^{\prime}C^{\prime} = BC = 5\text{ cm}\).
2. La symétrie axiale conserve les mesures des angles.
   
   ABC est rectangle en A, donc \(\widehat{BAC} = 90^\circ\) et \(\widehat{B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime}} = 90^\circ\). Ainsi, le triangle A’B’C’ est rectangle en A’.
   
   \(\widehat{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}} = \widehat{ABC}\), soit environ \(53^\circ\).
3. Le triangle ABC est rectangle en A : c’est la moitié d’un rectangle de \(3\text{ cm}\) sur \(4\text{ cm}\).
   
   On calcule \(\dfrac{3 \times 4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\).
   
   L’aire de ABC est \(6\text{ cm}^2\). La symétrie axiale conserve les aires : l’aire de A’B’C’ est aussi \(6\text{ cm}^2\).
4. \(3 + 4 + 5 = 12\). Le périmètre du triangle A’B’C’ est \(12\text{ cm}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

Barème : a) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour les trois longueurs ; b) 0,5 point par angle ; c) 0,5 point pour l’aire de ABC, 0,5 point pour la conservation ; d) 1 point.

Exercice 2 : Symétriques dans un quadrillage (5 points)

1. La symétrie d’axe vertical d garde la ligne et change la colonne. Ainsi, une case située à une certaine distance à gauche de d a son image à la même distance à droite. La colonne 6 va en colonne 7, la colonne 5 en colonne 8, etc. Donc la somme des deux numéros de colonne vaut toujours 13.
   
   (2 ; 5) : \(13 – 2 = 11\), image (11 ; 5) ;
   
   (6 ; 3) : \(13 – 6 = 7\), image (7 ; 3) ;
   
   (9 ; 8) : \(13 – 9 = 4\), image (4 ; 8).
2. Avec la même méthode (colonne 3 vers 10, colonne 4 vers 9, colonne 5 vers 8) :
   
   (10 ; 2), (9 ; 2), (8 ; 2), (8 ; 3) et (8 ; 4).
   
   Le symétrique contient 5 cases, comme la figure de départ : c’était prévisible car la symétrie axiale conserve les aires. C’est un L retourné, comme dans un miroir.
3. La symétrie d’axe horizontal d’ garde la colonne et change la ligne. Ainsi, la ligne 5 va en ligne 6, la ligne 4 en ligne 7, etc. Donc la somme des deux numéros de ligne vaut 11.
   
   (3 ; 2) : \(11 – 2 = 9\), image (3 ; 9) ;
   
   (5 ; 4) : \(11 – 4 = 7\), image (5 ; 7).
4. Une case serait sa propre image si son numéro de ligne était égal à 11 moins lui-même. Ce numéro serait alors la moitié de 11, soit \(5{,}5\), qui n’est pas un numéro de ligne. Autrement dit, l’axe d’ passe entre deux lignes et ne traverse aucune case. Aucune case n’est sa propre image.

Figure et barème de l’exercice 2

Sur la figure : les cases grises 1, 2, 3 de la question a) et leurs images 1′, 2′, 3′ ; le L bleu et son symétrique en rouge ; en vert, marquées « c », les images de la question c) par rapport à d’.

Barème : a) 0,5 point par case ; b) 1 point pour les cinq cases (0,5 point si une erreur), 0,5 point pour « 5 cases, aires conservées » ; c) 0,5 point par case ; d) 1 point avec justification.

Erreur fréquente : décaler l’image d’une colonne en comptant à partir de la colonne 6 au lieu du trait qui sépare les colonnes 6 et 7.

Exercice 3 : Construire le symétrique d’un point (3 points)

1. 1. Avec l’équerre, je trace la droite perpendiculaire à d passant par M ; elle coupe d au point H.
   
   2. Je place la pointe du compas en H et je l’écarte jusqu’à M.
   
   3. Sans changer l’écartement, je reporte cette longueur sur la perpendiculaire, de l’autre côté de d. J’obtiens alors le point M’, tel que \(HM^{\prime} = HM\).
2. N est sur l’axe de symétrie : le symétrique de N est N lui-même.
3. Par construction, la droite d est perpendiculaire à (MM’) et elle passe par H, milieu de [MM’] (car \(HM = HM^{\prime}\) et H est sur [MM’]). La droite d est la médiatrice du segment [MM’].

(La figure n’est pas à l’échelle.)

Barème : a) 0,5 point par étape ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour « médiatrice », 0,5 point pour la justification (perpendiculaire et milieu).

Exercice 4 : Raisonner avec la médiatrice (4 points)

1. La droite d est la médiatrice de [EF]. Donc elle est perpendiculaire à [EF] en son milieu : le symétrique de E par rapport à d est F.
   
   G est sur l’axe d : le symétrique de G est G lui-même.
2. Le symétrique de G est G et celui de E est F, donc le symétrique du segment [GE] est le segment [GF]. La symétrie axiale conserve les longueurs : \(GF = GE\), \(GF = 4{,}5\text{ cm}\).
   
   On retrouve la propriété de la médiatrice : un point de la médiatrice est à égale distance des extrémités du segment.
3. Les symétriques de G, E et F sont G, F et E : le symétrique de l’angle \(\widehat{GEF}\) est l’angle \(\widehat{GFE}\). La symétrie axiale conserve les angles : \(\widehat{GFE} = 50^\circ\).
4. \(GE = GF\), donc le triangle EGF est isocèle en G. La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\) :
   
   \(\widehat{EGF} = 180^\circ – (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ – 100^\circ = 80^\circ\)
   
   \(\widehat{EGF} = 80^\circ\).

Barème : a) 0,5 point par symétrique justifié ; b) 0,5 point pour [GF], 0,5 point pour 4,5 cm ; c) 0,5 point pour l’angle symétrique, 0,5 point pour 50° ; d) 0,5 point pour « isocèle en G », 0,5 point pour 80°.

Exercice 5 : Le jardin symétrique (4 points)

1. La symétrie axiale conserve les longueurs : \(P^{\prime}Q^{\prime} = PQ = 7{,}5\text{ m}\).
2. Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre. Le bassin de droite est un cercle de centre O’ et de rayon \(1{,}5\text{ m}\).
   
   \(2 \times 1{,}5 = 3\) : son diamètre mesure \(3\text{ m}\).
3. La symétrie axiale conserve les angles : \(\widehat{P^{\prime}Q^{\prime}R^{\prime}} = 40^\circ\).
   
   Elle conserve aussi les aires : le massif P’Q’R’ mesure \(12\text{ m}^2\).
   
   \(12 + 12 = 24\) : l’aire totale de fleurs est de \(24\text{ m}^2\).
4. La symétrie axiale conserve l’alignement : U, V et W sont alignés, donc U’, V’ et W’ sont alignés. De plus, V’ est entre U’ et W’.
5. K est sur l’axe d, donc son symétrique est K lui-même. Le symétrique de P est P’, donc le symétrique du segment [KP] est [KP’], et la symétrie conserve les longueurs : \(KP^{\prime} = KP\). On peut aussi dire que d est la médiatrice de [PP’] et que K, point de cette médiatrice, est à égale distance de P et de P’. Le rosier est à \(5\text{ m}\) du point P’.

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour le centre O’ et le rayon, 0,5 point pour 3 m ; c) 0,5 point pour 40°, 0,5 point pour 24 m² ; d) 0,5 point ; e) 0,5 point pour la justification, 0,5 point pour 5 m.

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Après le corrigé du contrôle : construire le symétrique et ses propriétés

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