Contrôle de maths 6ème : construire le symétrique et ses propriétés

Exercice 1 : Ce que conserve la symétrie (4 points)

Calculatrice interdite.

ABC est un triangle rectangle en A tel que \(AB = 3\text{ cm}\), \(AC = 4\text{ cm}\) et \(BC = 5\text{ cm}\). L’angle \(\widehat{ABC}\) mesure environ \(53^\circ\). On appelle A’, B’ et C’ les symétriques respectifs de A, B et C par rapport à une droite d qui ne coupe pas le triangle.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Donne les longueurs A’B’, A’C’ et B’C’. Justifie. (1 point)
2. Donne les mesures des angles \(\widehat{B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime}}\) et \(\widehat{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\). (1 point)
3. Calcule l’aire du triangle ABC, puis donne celle du triangle A’B’C’. (1 point)
4. Calcule le périmètre du triangle A’B’C’. (1 point)

Exercice 2 : Symétriques dans un quadrillage (5 points)

Un quadrillage compte 12 colonnes, numérotées de 1 à 12 de gauche à droite, et 10 lignes, numérotées de 1 à 10 de bas en haut. Une case est repérée par son numéro de colonne puis son numéro de ligne : la case (2 ; 5) est dans la colonne 2 et la ligne 5.

La droite d (en rouge) est verticale : c’est le trait du quadrillage qui sépare la colonne 6 de la colonne 7. La droite d’ (en pointillés verts) sert à la question c). La figure en L de la question b) est coloriée en bleu.

1. Donne les symétriques par rapport à d des cases (2 ; 5), (6 ; 3) et (9 ; 8). (1,5 point)
2. Une figure en forme de L est formée des cases (3 ; 2), (4 ; 2), (5 ; 2), (5 ; 3) et (5 ; 4). Donne les cases de son symétrique par rapport à d. Combien de cases contient le symétrique, et pourquoi était-ce prévisible ? (1,5 point)
3. On prend maintenant pour axe la droite horizontale d’, trait du quadrillage qui sépare la ligne 5 de la ligne 6. Donne les symétriques par rapport à d’ des cases (3 ; 2) et (5 ; 4). (1 point)
4. Existe-t-il une case qui soit sa propre image par la symétrie d’axe d’ ? Justifie. (1 point)

Exercice 3 : Construire le symétrique d’un point (3 points)

M est un point qui n’est pas sur la droite d, et N est un point de la droite d.

1. Écris les étapes permettant de construire le point M’, symétrique de M par rapport à d, avec l’équerre et le compas. (1,5 point)
2. Quel est le symétrique du point N par rapport à d ? (0,5 point)
3. Que représente la droite d pour le segment [MM’] ? Justifie à l’aide de ta construction. (1 point)

Exercice 4 : Raisonner avec la médiatrice (4 points)

La droite d est la médiatrice du segment [EF]. Le point G est sur d, mais pas sur le segment [EF]. On sait que \(GE = 4{,}5\text{ cm}\) et \(\widehat{GEF} = 50^\circ\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Quel est le symétrique du point E par rapport à d ? Et celui du point G ? Justifie. (1 point)
2. Quel est le symétrique du segment [GE] par rapport à d ? Déduis-en la longueur GF. (1 point)
3. Quel est le symétrique de l’angle \(\widehat{GEF}\) ? Déduis-en la mesure de \(\widehat{GFE}\). (1 point)
4. Quelle est la nature du triangle EGF ? Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{EGF}\). (1 point)

Exercice 5 : Le jardin symétrique (4 points)

Un jardinier aménage un parc symétrique par rapport à l’allée centrale rectiligne, représentée par la droite d. Du côté gauche de l’allée, il a installé : une bordure droite [PQ] de \(7{,}5\text{ m}\) ; un bassin circulaire de centre O et de rayon \(1{,}5\text{ m}\) ; un massif de fleurs triangulaire PQR d’aire \(12\text{ m}^2\), avec \(\widehat{PQR} = 40^\circ\) ; trois arbres U, V et W alignés, V étant entre U et W. Il reproduit tout cela, par symétrie d’axe d, du côté droit. On note P’, Q’, R’, O’, U’, V’, W’ les symétriques des points.

1. Quelle est la longueur de la bordure [P’Q’] ? (0,5 point)
2. Décris le bassin du côté droit (centre et rayon) et donne son diamètre. (1 point)
3. Quelle est la mesure de l’angle \(\widehat{P^{\prime}Q^{\prime}R^{\prime}}\) ? Quelle est l’aire totale de fleurs des deux massifs réunis ? (1 point)
4. Les arbres U’, V’ et W’ sont-ils alignés ? Justifie. (0,5 point)
5. Le jardinier plante un rosier K au bord de l’allée, sur la droite d, à \(5\text{ m}\) du point P. À quelle distance du point P’ se trouve le rosier ? Justifie. (1 point)

Réviser avant le contrôle : construire le symétrique et ses propriétés

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Symétrie axiale et centre de symétrie » en 6ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés symétrie axiale.

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