Théorème de Pythagore : définition
Au programme de 4e
Énoncé du théorème
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Notation : Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
En clair
Le côté le plus long, mis au carré, vaut exactement la somme des deux autres côtés mis au carré.
Ce qu'il faut retenir
- Il ne s'applique que dans un triangle rectangle : il faut d'abord justifier que le triangle l'est.
- L'hypoténuse est toujours seule d'un côté de l'égalité.
- Pour trouver un côté de l'angle droit, on soustrait : $AB^2 = BC^2 - AC^2$.
- La réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.
- La contraposée permet de démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.
Exemple
$ABC$ rectangle en $A$, $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm. Alors $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, donc $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.
Autre sens : $BC = 13$ cm et $AB = 5$ cm donnent $AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$, donc $AC = 12$ cm.
À ne pas confondre avec
- Réciproque du théorème de Pythagore — la réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle, le théorème sert à calculer une longueur.
- Théorème de Thalès — Thalès porte sur des longueurs proportionnelles dans une configuration de droites parallèles.
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Termes liés
Réciproque du théorème de Pythagore Triangle rectangle Hypoténuse Racine carrée Théorème de Thalès Cosinus Côté adjacent Rotation Translation Agrandissement et réduction
Questions fréquentes sur « théorème de pythagore »
Quel est l'énoncé du théorème de Pythagore ?
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ si le triangle est rectangle en $A$.
Comment calculer un côté de l'angle droit ?
On soustrait : le carré du côté cherché est égal au carré de l'hypoténuse moins le carré de l'autre côté.
Le théorème de Pythagore marche-t-il dans tous les triangles ?
Non, uniquement dans les triangles rectangles. C'est la première chose à justifier avant de l'utiliser.