Quatrième · Fiche méthode 6 sur 12 · Théorème de Pythagore
Comment calculer une longueur avec le théorème de Pythagore ?
Dans un triangle rectangle, $\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}^2+\text{côté}^2$. Pour trouver l'hypoténuse, on additionne les carrés ; pour trouver un côté de l'angle droit, on soustrait. On termine par une racine carrée.
La méthode en 5 étapes
1Vérifier que le triangle est rectangle
Le théorème ne s'applique que dans un triangle rectangle : l'énoncé ou le codage doit l'indiquer. On précise toujours où se trouve l'angle droit.
2Identifier l'hypoténuse
C'est le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long. Se tromper d'hypoténuse fausse tout le calcul.
3Écrire l'égalité de Pythagore
Dans un triangle rectangle en $A$ : $BC^2 = AB^2+AC^2$, où $[BC]$ est l'hypoténuse.
4Remplacer et calculer
On remplace les longueurs connues, puis on isole le carré cherché : on additionne s'il s'agit de l'hypoténuse, on soustrait s'il s'agit d'un côté de l'angle droit.
5Prendre la racine carrée
On obtient la longueur avec $\sqrt{\ }$, et on arrondit si l'énoncé le demande, sans oublier l'unité.
Un exemple entièrement résolu
Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calculer $BC$. Puis, dans un triangle $DEF$ rectangle en $D$ avec $EF = 13$ cm et $DE = 5$ cm, calculer $DF$.
L'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est $[BC]$ : $BC^2 = AB^2+AC^2$.
$BC^2 = 6^2+8^2 = 36+64 = 100$, donc $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.
L'angle droit est en $D$, donc l'hypoténuse est $[EF]$, qui est déjà connue. On cherche un côté de l'angle droit : $EF^2 = DE^2+DF^2$.
$13^2 = 5^2+DF^2$, soit $169 = 25+DF^2$, donc $DF^2 = 169-25 = 144$ et $DF = \sqrt{144} = 12$ cm.
Conclusion. $BC = 10$ cm et $DF = 12$ cm.
Les erreurs à ne pas faire
- Additionner alors qu'il faut soustraire : on n'additionne que pour trouver l'hypoténuse.
- Confondre $BC^2$ et $BC$ : le calcul donne le carré, il reste à prendre la racine carrée.
- Oublier l'unité, ou la mettre au carré : une longueur s'exprime en cm, pas en cm².
- Appliquer le théorème à un triangle qui n'est pas rectangle.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Un triangle $MNP$ est rectangle en $N$, $MN = 9$ cm et $NP = 12$ cm. Calculer $MP$.
Voir le corrigé
L'hypoténuse est $[MP]$ : $MP^2 = MN^2+NP^2 = 81+144 = 225$.
$MP = \sqrt{225} = 15$ cm.
- Exercice 2
Une échelle de $5$ m est appuyée contre un mur, son pied est à $1{,}4$ m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? Arrondir au centimètre.
Voir le corrigé
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse : $5^2 = 1{,}4^2+h^2$.
$h^2 = 25-1{,}96 = 23{,}04$, donc $h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ m exactement.
L'échelle touche le mur à $4{,}80$ m de hauteur.
- Exercice 3
Un rectangle mesure $7$ cm sur $24$ cm. Calculer la longueur de sa diagonale.
Voir le corrigé
La diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles dont elle est l'hypoténuse.
$d^2 = 7^2+24^2 = 49+576 = 625$, donc $d = \sqrt{625} = 25$ cm.
Questions fréquentes
Comment reconnaître l'hypoténuse à coup sûr ?
C'est le côté qui ne touche pas l'angle droit, autrement dit celui dont les deux lettres sont différentes du sommet de l'angle droit. Dans un triangle rectangle en $A$, l'hypoténuse est $[BC]$. C'est aussi toujours le plus long des trois côtés.
Que faire si la racine carrée ne tombe pas juste ?
On garde la valeur exacte sous forme de racine, par exemple $BC = \sqrt{52}$ cm, puis on donne la valeur approchée demandée, ici $BC\approx 7{,}2$ cm. On écrit alors le symbole $\approx$ et non $=$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Théorème de Pythagore en Quatrième, voici le reste des ressources du site :