Réciproque du théorème de Pythagore : définition

Au programme de 4e

Énoncé du théorème

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.

En clair

C'est le théorème de Pythagore « dans l'autre sens » : il sert à prouver qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs.

Ce qu'il faut retenir

On repère d'abord le plus grand côté : c'est le candidat hypoténuse.
On calcule séparément $BC^2$ d'une part, $AB^2 + AC^2$ d'autre part.
Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle ; sinon il ne l'est pas (c'est la contraposée).
Le sommet de l'angle droit est celui qui n'appartient pas au plus grand côté.

Exemple

Triangle de côtés 9, 12 et 15 cm. $15^2 = 225$ et $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. Les deux résultats sont égaux : le triangle est rectangle.

Triangle de côtés 4, 6 et 8 cm. $8^2 = 64$ et $4^2 + 6^2 = 52$. $64 \ne 52$ : le triangle n'est pas rectangle.

À ne pas confondre avec

Théorème de Pythagore — le théorème direct suppose le triangle rectangle et calcule une longueur.

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Termes liés

Théorème de Pythagore Triangle rectangle Réciproque Hypoténuse Réciproque du théorème de Thalès Cosinus Côté adjacent Rotation Théorème de Thalès Translation

Questions fréquentes sur « réciproque du théorème de pythagore »

Comment démontrer qu'un triangle est rectangle ?

On applique la réciproque du théorème de Pythagore : on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.

Que faire si les deux calculs ne donnent pas le même résultat ?

On conclut que le triangle n'est pas rectangle : c'est la contraposée du théorème.

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