Théorème de Thalès : définition
Énoncé du théorème
Si deux droites sécantes en un point sont coupées par deux droites parallèles, alors les longueurs des côtés des deux triangles obtenus sont proportionnelles.
Notation : Dans la configuration où $(MN) \parallel (BC)$ avec $M \in (AB)$ et $N \in (AC)$ : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
En clair
Deux droites parallèles découpent deux triangles de même forme : leurs côtés sont dans le même rapport d'agrandissement.
Ce qu'il faut retenir
- Il faut impérativement deux droites parallèles pour pouvoir l'appliquer.
- Les trois quotients sont égaux : on choisit les deux qui contiennent la longueur cherchée.
- On écrit les rapports en respectant l'ordre : petit triangle au numérateur, grand triangle au dénominateur.
- Les deux configurations classiques sont le « triangle » et le « papillon » (parallèles de part et d'autre du point d'intersection).
- La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
Exemple
$(MN) \parallel (BC)$, $AM = 3$ cm, $AB = 9$ cm, $BC = 12$ cm. Alors $\dfrac{MN}{12} = \dfrac{3}{9} = \dfrac13$, donc $MN = 4$ cm.
À ne pas confondre avec
- Réciproque du théorème de Thalès — la réciproque sert à démontrer un parallélisme, pas à calculer une longueur.
- Théorème de Pythagore — Pythagore porte sur les triangles rectangles et les carrés des longueurs.
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