Logarithme népérien : définition

(ab) = a + b, ( ab) = a - b, (a^n) = n a, 1 = 0 et e = 1.

Sur ]0 ; +l'infini[ : on ne peut pas prendre le logarithme d'un nombre négatif ou nul.

Au programme de Tle

Définition

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle : $\ln(x)$ est l'unique nombre dont l'exponentielle vaut $x$.

Notation : $\ln$, définie sur $]0\,;\,+\infty[$.

En clair

C'est la fonction qui « défait » l'exponentielle : elle répond à la question « $e$ puissance combien ? ».

$\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$.
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ : le logarithme transforme les produits en sommes.
$\ln\!\left(\dfrac ab\right) = \ln a - \ln b$ et $\ln(a^n) = n\ln a$.
$\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.
Il est strictement croissant et concave sur $]0\,;\,+\infty[$, de dérivée $\dfrac1x$.

Résoudre $2^n \ge 1000$ : $n \ln 2 \ge \ln 1000$, donc $n \ge \dfrac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97$, soit $n \ge 10$.

Fonction exponentielle — l'exponentielle est la fonction réciproque du logarithme.

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\left(\dfrac ab\right) = \ln a - \ln b$, $\ln(a^n) = n \ln a$, $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$.

Sur $]0\,;\,+\infty[$ : on ne peut pas prendre le logarithme d'un nombre négatif ou nul.

À résoudre les équations où l'inconnue est en exposant, et à transformer les produits en sommes.