Dérivée : définition
Au programme de 1re
Définition
La dérivée d'une fonction $f$ est la fonction $f'$ qui, à chaque nombre $x$, associe le nombre dérivé de $f$ en $x$.
Notation : $f'$ ou $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$.
En clair
C'est la fonction « pente » : elle dit, en chaque point, si la courbe monte, descend, et à quelle vitesse.
Ce qu'il faut retenir
- $f' > 0$ sur un intervalle signifie que $f$ y est croissante ; $f' < 0$ qu'elle y est décroissante.
- Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, $(\sqrt x)' = \dfrac{1}{2\sqrt x}$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac1x$.
- Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
- $(e^u)' = u'e^u$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
- C'est l'outil central de l'étude des variations et de l'optimisation.
Exemple
$f(x) = x^3 - 3x + 2$ : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. La fonction croît, décroît puis croît à nouveau.
À ne pas confondre avec
- Nombre dérivé — le nombre dérivé est une valeur, la dérivée une fonction.
- Primitive — la primitive est l'opération inverse de la dérivation.
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Termes liés
Nombre dérivé Tangente à une courbe Variations d'une fonction Primitive Convexité Extremum Tableau de variation Fonction composée Fonction exponentielle Fonction impaire
Questions fréquentes sur « dérivée »
À quoi sert la dérivée ?
À déterminer les variations d'une fonction, ses extremums, et l'équation de ses tangentes.
Quelle est la dérivée de $x^n$ ?
$n x^{n-1}$.
Comment dériver un quotient ?
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, avec $v$ qui ne s'annule pas.