Fonction exponentielle : définition

e^a+b = e^a e^b, e^-a = 1/e^a, e^0 = 1, et e^x > 0 pour tout x.

e^x elle-même : c'est la propriété qui définit cette fonction.

On se ramène à e^A = e^B, ce qui équivaut à A = B car l'exponentielle est strictement croissante.

Au programme de 1re Tle

Définition

La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$.

Notation : $\exp(x)$ ou $e^x$, avec $e \approx 2{,}718$.

En clair

C'est la fonction qui est sa propre dérivée ; elle modélise toute croissance proportionnelle à ce qui est déjà là.

$e^x > 0$ pour tout réel $x$ : l'exponentielle ne s'annule jamais.
$e^{a+b} = e^a \times e^b$, $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$, $(e^a)^n = e^{na}$.
Elle est strictement croissante et convexe sur $\mathbb{R}$.
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty$.
$e^a = e^b$ équivaut à $a = b$ : on peut « simplifier » les exponentielles dans une équation.

Résoudre $e^{2x-1} = e^{x+3}$ : l'exponentielle étant strictement croissante, $2x-1 = x+3$, donc $x = 4$.

Puissance — l'exponentielle prolonge les puissances à tous les exposants réels.
Logarithme népérien — le logarithme est la fonction réciproque de l'exponentielle.

$e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$, $e^0 = 1$, et $e^x > 0$ pour tout $x$.

$e^x$ elle-même : c'est la propriété qui définit cette fonction.

On se ramène à $e^A = e^B$, ce qui équivaut à $A = B$ car l'exponentielle est strictement croissante.