Aire sous la courbe : définition
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Définition
L'aire sous la courbe d'une fonction positive entre deux abscisses est l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et deux droites verticales. Elle se calcule par une intégrale.
En clair
C'est la surface « sous le dessin » de la fonction, mesurée en unités d'aire.
Ce qu'il faut retenir
- Pour $f \ge 0$ : aire $= \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ unités d'aire.
- Pour $f \le 0$ : aire $= -\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
- Aire entre deux courbes : $\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x$ lorsque $f \ge g$.
- L'unité d'aire dépend des unités choisies sur les deux axes.
- En physique, l'aire sous la courbe de la vitesse donne la distance parcourue.
Exemple
L'aire entre $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;\,1]$ vaut $\displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,\mathrm{d}x = \dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16$.
À ne pas confondre avec
- Intégrale — l'intégrale est le calcul, l'aire l'interprétation géométrique.
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Termes liés
Intégrale Primitive Aire Courbe représentative Signe d'une fonction Asymptote Continuité Convexité Croissances comparées Équation différentielle
Questions fréquentes sur « aire sous la courbe »
Comment calculer l'aire entre deux courbes ?
On intègre la différence entre la fonction du dessus et celle du dessous, sur l'intervalle considéré.