Loi binomiale : définition
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Définition
La loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est la loi du nombre de succès obtenus lors de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès $p$.
Notation : $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ et $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
En clair
C'est la loi qui répond à « combien de réussites sur $n$ essais ? ».
Ce qu'il faut retenir
- $\binom{n}{k}$ compte le nombre de chemins de l'arbre menant à $k$ succès.
- $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$, d'où $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.
- $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ : le passage par l'événement contraire est un réflexe.
- La calculatrice fournit $P(X = k)$ et $P(X \le k)$ directement.
- Les trois conditions du schéma de Bernoulli doivent être vérifiées avant d'appliquer la loi.
Exemple
$n = 10$, $p = 0{,}3$ : $P(X = 4) = \binom{10}{4}\times0{,}3^4\times0{,}7^6 \approx 0{,}200$.
À ne pas confondre avec
- Coefficient binomial — le coefficient binomial n'est qu'un ingrédient de la formule.
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Termes liés
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Questions fréquentes sur « loi binomiale »
Quelle est la formule de la loi binomiale ?
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
Quelle est l'espérance d'une loi binomiale ?
$E(X) = np$.
Comment calculer « au moins un succès » ?
On passe par l'événement contraire : $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.