Convexité : définition
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Définition
Une fonction est convexe sur un intervalle lorsque sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes ; elle est concave lorsqu'elle est en dessous.
En clair
Convexe, la courbe « tourne vers le haut » (elle creuse comme un bol) ; concave, elle tourne vers le bas.
Ce qu'il faut retenir
- $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''(x) \ge 0$ sur $I$.
- $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''(x) \le 0$ sur $I$.
- Une fonction est convexe si et seulement si sa dérivée $f'$ est croissante.
- Une corde reliant deux points de la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de la courbe.
- La fonction carré et la fonction exponentielle sont convexes ; la fonction logarithme et la fonction racine sont concaves.
Exemple
$f(x) = x^3$ : $f''(x) = 6x$, négative avant 0 et positive après. La fonction est concave sur $]-\infty\,;\,0]$ et convexe sur $[0\,;\,+\infty[$.
À ne pas confondre avec
- Variations d'une fonction — les variations dépendent de $f'$, la convexité de $f''$.
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Termes liés
Dérivée Point d'inflexion Tangente à une courbe Fonction exponentielle Logarithme népérien Aire sous la courbe Asymptote Continuité Croissances comparées Équation différentielle
Questions fréquentes sur « convexité »
Comment étudier la convexité d'une fonction ?
On calcule la dérivée seconde $f''$ et on étudie son signe : positive signifie convexe, négative signifie concave.