Limite d'une fonction : définition
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Définition
La limite d'une fonction décrit le comportement de ses valeurs lorsque la variable s'approche d'une valeur donnée ou tend vers l'infini.
Notation : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$.
En clair
C'est répondre à la question : vers quoi la fonction se dirige-t-elle ?
Ce qu'il faut retenir
- Une limite peut être finie ($\ell$), infinie ($\pm\infty$), ou ne pas exister.
- Une limite finie en $+\infty$ correspond à une asymptote horizontale.
- Une limite infinie en $a$ correspond à une asymptote verticale d'équation $x = a$.
- Le comportement d'un polynôme en l'infini est celui de son terme de plus haut degré.
- Les formes indéterminées $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac00$, $\infty - \infty$ et $0 \times \infty$ demandent une transformation de l'écriture.
Exemple
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{3x^2+1}{x^2-5} = 3$ : on factorise par $x^2$ au numérateur et au dénominateur.
À ne pas confondre avec
- Asymptote — l'asymptote est la droite dont la courbe se rapproche, conséquence d'une limite.
- Limite d'une suite — pour une suite, la variable est un entier qui tend vers l'infini.
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Termes liés
Asymptote Continuité Limite d'une suite Croissances comparées Fonction polynôme Aire sous la courbe Convexité Équation différentielle Intégrale Logarithme népérien
Questions fréquentes sur « limite d'une fonction »
Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?
Une écriture comme $\dfrac{\infty}{\infty}$ ou $\infty - \infty$ qui ne permet pas de conclure directement : il faut factoriser, simplifier ou utiliser les croissances comparées.
Comment calculer la limite d'un quotient de polynômes en l'infini ?
On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie.