Limite d'une suite : définition
Au programme de Tle
Définition
La limite d'une suite décrit le comportement de ses termes lorsque le rang devient très grand.
Notation : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$.
En clair
C'est vers quelle valeur la suite se dirige quand on va très loin dans la liste.
Ce qu'il faut retenir
- Une suite converge si elle admet une limite finie, sinon elle diverge.
- $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac1n = 0$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{\sqrt n} = 0$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^2 = +\infty$.
- Pour une suite géométrique de raison $q$ : si $-1 < q < 1$, $q^n$ tend vers 0 ; si $q > 1$, $q^n$ tend vers $+\infty$.
- Théorème de la limite monotone : une suite croissante et majorée converge.
- Théorème des gendarmes : encadrée par deux suites de même limite, une suite a cette limite.
Exemple
$u_n = 3 + \dfrac{2}{n}$ : quand $n$ grandit, $\dfrac2n$ tend vers 0, donc la suite converge vers 3.
À ne pas confondre avec
- Limite d'une fonction — pour une fonction, la variable parcourt tous les réels.
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Termes liés
Suite convergente Suite divergente Limite d'une fonction Suite géométrique Suite majorée, minorée, bornée Raisonnement par récurrence Formule explicite Raison d'une suite Somme des termes d'une suite Suite arithmétique
Questions fréquentes sur « limite d'une suite »
Comment calculer la limite d'une suite ?
On utilise les limites de référence, les opérations sur les limites, le théorème des gendarmes ou le théorème de la limite monotone.