Suite géométrique : définition
Au programme de 1re
Définition
Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul, appelé la raison.
Notation : $u_{n+1} = q\,u_n$, et $u_n = u_0 \times q^n$.
En clair
C'est une progression « par pourcentage constant » : on multiplie toujours par le même facteur.
Ce qu'il faut retenir
- La raison est $q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, constante, avec $u_n \ne 0$.
- Formule explicite : $u_n = u_0 \times q^n$.
- Pour $u_0 > 0$ : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$.
- Somme : $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$ pour $q \ne 1$.
- Une évolution de $t\ \%$ par période donne une suite géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$.
Exemple
Un placement de 1 000 € à 3 % par an : $u_n = 1000 \times 1{,}03^n$. Au bout de 10 ans, $u_{10} \approx 1344$ €.
À ne pas confondre avec
- Suite arithmétique — l'arithmétique ajoute une constante.
- Fonction exponentielle — la suite géométrique en est l'analogue discret.
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Termes liés
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Questions fréquentes sur « suite géométrique »
Comment reconnaître une suite géométrique ?
On calcule $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : si le quotient est constant, la suite est géométrique.
Quelle est la limite d'une suite géométrique ?
Si $-1 < q < 1$, elle tend vers 0 ; si $q > 1$ et $u_0 > 0$, elle tend vers $+\infty$.