Croissances comparées : définition
Au programme de Tle
Propriété
Les croissances comparées sont les résultats qui indiquent laquelle, de l'exponentielle, de la puissance ou du logarithme, l'emporte lorsque $x$ tend vers l'infini.
En clair
Elles disent qui « gagne » dans une forme indéterminée : l'exponentielle bat les puissances, qui battent le logarithme.
Ce qu'il faut retenir
- $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.
- $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ : toute puissance l'emporte sur le logarithme.
- $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0$.
- $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$.
- Elles servent à lever les formes indéterminées mêlant exponentielle, logarithme et polynômes.
Exemple
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^3}{e^x} = 0$ : même élevé au cube, $x$ ne rattrape pas l'exponentielle.
À ne pas confondre avec
- Limite d'une fonction — les croissances comparées sont un outil pour calculer certaines limites.
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Termes liés
Limite d'une fonction Fonction exponentielle Logarithme népérien Asymptote Aire sous la courbe Continuité Convexité Équation différentielle Intégrale
Questions fréquentes sur « croissances comparées »
Qui l'emporte entre $e^x$ et $x^n$ ?
L'exponentielle, toujours, quelle que soit la puissance $n$.