Continuité : définition
Au programme de Tle
Définition
Une fonction est continue sur un intervalle lorsque sa courbe peut être tracée sans lever le crayon.
En clair
Il n'y a ni trou, ni saut, ni rupture dans la courbe.
Ce qu'il faut retenir
- Formellement, $f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.
- Les fonctions polynômes, rationnelles, racine, exponentielle et logarithme sont continues sur leur ensemble de définition.
- Une fonction dérivable est continue, mais l'inverse est faux : la valeur absolue est continue en 0 sans y être dérivable.
- La fonction partie entière est l'exemple type d'une fonction discontinue.
- La continuité est l'hypothèse indispensable du théorème des valeurs intermédiaires.
Exemple
La fonction partie entière saute d'une unité à chaque entier : elle n'est pas continue en ces points.
À ne pas confondre avec
- Dérivée — la dérivabilité est une propriété plus forte que la continuité.
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- Synthèse de coursContinuité et théorème des valeurs intermédiaires
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Termes liés
Théorème des valeurs intermédiaires Limite d'une fonction Dérivée Fonction valeur absolue Fonction monotone Aire sous la courbe Asymptote Convexité Croissances comparées Équation différentielle
Questions fréquentes sur « continuité »
Qu'est-ce qu'une fonction continue ?
Une fonction dont la courbe se trace sans lever le crayon : en chaque point, la limite égale la valeur de la fonction.
Une fonction continue est-elle dérivable ?
Pas nécessairement : la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n'y est pas dérivable.