Déterminant de deux vecteurs : définition
Au programme de 2nde
Définition
Le déterminant des vecteurs $\vec u(x\,;\,y)$ et $\vec v(x'\,;\,y')$ est le nombre $xy' - yx'$.
Notation : $\det(\vec u\,;\,\vec v) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - yx'$.
En clair
C'est un calcul en croix qui répond à une seule question : les deux vecteurs sont-ils parallèles ?
Ce qu'il faut retenir
- Le déterminant est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
- En valeur absolue, il donne l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs.
- $\det(\vec v\,;\,\vec u) = -\det(\vec u\,;\,\vec v)$.
- C'est l'outil pour démontrer un alignement ou un parallélisme par le calcul.
Exemple
$\vec u(4\,;\,6)$ et $\vec v(2\,;\,3)$ : $\det = 4\times3 - 6\times2 = 0$. Les vecteurs sont colinéaires.
À ne pas confondre avec
- Produit scalaire — le produit scalaire, lui, teste l'orthogonalité.
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- Fiche méthodeComment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?
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Termes liés
Vecteurs colinéaires Vecteur Produit scalaire Points alignés Aire Équation cartésienne Équation de droite Géométrie repérée Norme d'un vecteur Relation de Chasles
Questions fréquentes sur « déterminant de deux vecteurs »
À quoi sert le déterminant de deux vecteurs ?
À tester la colinéarité : il est nul exactement quand les deux vecteurs sont colinéaires.