Fonction composée : définition
Définition
La composée de deux fonctions $u$ et $v$ est la fonction qui applique d'abord $u$, puis $v$ au résultat obtenu.
Notation : $(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big)$, qui se lit « $v$ rond $u$ ».
En clair
C'est enchaîner deux machines : la sortie de la première devient l'entrée de la seconde.
Ce qu'il faut retenir
- L'ordre compte : $v \circ u$ et $u \circ v$ sont en général différentes.
- L'ensemble de définition impose que $u(x)$ appartienne à l'ensemble de définition de $v$.
- Dérivée d'une composée : $(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$.
- Cas fréquents : $\sqrt{u}$, $u^n$, $e^u$, $\ln(u)$.
- Si $u$ et $v$ ont le même sens de variation, la composée est croissante.
Exemple
Avec $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = x^2$ : $(v \circ u)(x) = (2x+1)^2$, alors que $(u \circ v)(x) = 2x^2+1$.
À ne pas confondre avec
- Produit — composer n'est pas multiplier : $(v \circ u)(x) \ne v(x) \times u(x)$.
Réviser cette notion sur Mathovore
- Synthèse de coursÉtude de fonctions : valeur absolue, composées et modélisation
- Synthèse de coursDérivation : composées et convexité
- Fiche méthodeComment dériver une fonction composée ?
- Cours completDérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF
- Exercices corrigésDérivée d'une fonction : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF
- QCM en ligneLa dérivée d'une fonction : QCM de maths en terminale avec exercices
Termes liés
Fonction Dérivée Fonction exponentielle Logarithme népérien Ensemble de définition Fonction impaire Fonction paire Fonction périodique Fonction valeur absolue Fonctions trigonométriques
Questions fréquentes sur « fonction composée »
Comment dériver une fonction composée ?
On applique la formule $(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$ : dérivée de l'intérieur multipliée par la dérivée de l'extérieur évaluée en l'intérieur.