Suite numériques : corrigé des exercices de maths en terminale.

Le corrigé des exercices de maths en terminale sur les suites numériques. Savoir étudier une suite (convergente ou divergente), le sens de variation et sa limite en l’infini.

Exercice 1 :
1. Soit la suite arithmétique de raison r=-2 et telle que $U_{10}=25$ .

a. Calculer $U_{50}=U_{10}+40\times r=25+40\times (-2)=-55$ .

b. Calculer $S_{10}=U_1+U_2+...+U_{10}=\frac{10\times (U_1+U_{10})}{2}$
Or $U_{10}=U_1+9r \Rightarrow U_1=U_{10}-9r=25-9\times (-2)=43$ .

$S_{10}=\frac{10\times (U_1+U_{10})}{2}=\frac{10\times (43+25)}{2} =340$

2. Soit la suite géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ et telle que $V_8=\frac{3}{8}$ .

a. Calculer $V_{20}=V_8\times q^{12}=\frac{3}{8}\times (\frac{1}{2})^{12}=\frac{3}{32768}$ .

b. Calculer $S_9=V_1+V_2+...+V_9=\frac{V_{10}-V_1}{q-1}=\frac{\frac{3}{8}\times (\frac{1}{2})^2-V_1}{\frac{1}{2}-1}$ .

Or $V_1=\frac{V_8}{(\frac{1}{2})^7} =\frac{3\times 2^7}{8}=48$

Donc $S_9=\frac{\frac{3}{32}-48}{-\frac{1}{2}}=\frac{1533}{16}$

Exercice 2 :
Calculer les limites des suites suivantes :

a. $\lim_{n \to +\infty} U_n=1$

b. $\lim_{n \to +\infty} U_n=\lim_{n \to +\infty} \frac{3n-4}{2n+1} =\frac{3}{2}$

c. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}ln(1+\frac{1}{n})=0$

d. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}cos(\frac{1}{n})=1$

e. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}sin(n\frac{\pi}{3}$ : sans limite

Exercice 3 :
Calculer les limites des suites suivantes :

a. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}1+\frac{sin n}{\sqrt{n}}=1$

b. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n+cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} =+\infty$

Exercice 4 :
Calculer les limites des suites suivantes en utilisant le théorème des croissances comparées.

a. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^2}{2^n}=+\infty$

b. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}2^n-n^3=+\infty$

c. $\lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n}{ln(n^2+1)}=+\infty$

Exercice 5 :
Etudier le sens de variation des suites suivantes :

a. $U_n=\frac{n}{n+1}$
soit $n \in \mathbb{N}\,,\, U_{n+1}-U_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\ge0$

donc est strictement croissante sur $\mathbb{N}$

b.
soit $n \in \mathbb{N}\,,\, U_{n+1}-U_n=n+1-ln(n+2)-n+ln(n+1)\\=1+ln(\frac{n+1}{n+2})=1+ln(1-\frac{1}{n+2})$
La suite définie par $V_n=ln(1-\frac{1}{n+2})$ est croissante et tend vers 0
donc il existe $n_0\in \mathbb{N}\,,\, 1+Vn\ge 0$

A partir de $n_0\in \mathbb{N}$ , la suite étudiée est croissante.

c. $U_n=\frac{1\times 3\times .....\times (2n-1)}{2\times 4 \times ...... \times .... \times 2n}$

Pour $n\in \mathbb{N^*}\,,\, U_n\ge 0$

Nous pouvons donc calculer le rapport :

Pour

$n\in \mathbb{N^*}\,,\, \frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{\frac{1\times 3\times .....\times (2(n+1)-1)}{2\times 4 \times ...... \times .... \times 2(n+1)}}{\frac{1\times 3\times .....\times (2n-1)}{2\times 4 \times ...... \times .... \times 2n}}=\frac{2n+2-1}{2(n+1)}=\frac{2n+1}{2n+2)}\le 1$

Donc la suite est décroissante sur $\mathbb{N}$ .

Exercice 6 :

Vérifions que la proposition est vraie au rang . On a $U_0\,=\,2\,<\,2$ , donc c’est vrai.

Supposons maintenant que la proposition est vraie pour un certain entier $n\geq\, 0$ , c’est-à-dire . Montrons qu’elle est vraie aussi au rang , c’est-à-dire $U_{n+1} < 2$ . On a :
$U_{n+1}\,=\,\sqrt{U_n+2}\,<\,\sqrt{2+2}\,=\,2.$
Ainsi, on a prouvé par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}, U_n < 2$ .

Exercice 7 :

Vérifions que la proposition est vraie au rang . On a et , donc c’est vrai.

Supposons maintenant que la proposition est vraie pour un certain entier $n\geq\, 0$ , c’est-à-dire . Montrons qu’elle est vraie aussi au rang , c’est-à-dire $U_{n+1} = 3-2^{n+1}$ . On a :
\[U_{n+1} = 2U_n – 3 = 2(3-2^n) – 3 = 6 – 2^{n+1} – 3 = 3 – 2^{n+1}.\]
Ainsi, on a prouvé par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}, U_n = 3-2^n$ .

Exercice 8 :

a. On a , , et .

b. On a :
$\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,1^2\,+\,2^2\,+\,\ldots\,+\,n^2\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,S_n\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,\frac{(n+1)(2n^2\,+\,7n\,+\,6)}{6}\,\\\,=\,\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)-1)}{6}.\,\end{align*}$

Ainsi, on a la formule de récurrence $S_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ .

c. On vérifie que $S_1 = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6} = 1$ . Supposons que $S_n = \frac{n(n+1)(2n-1)}{6}$ pour un certain entier naturel $n\geq\, 1$ . Alors :
$\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\,=\,\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}\,\\\,=\,\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)-1)}{6},\,\end{align*}$
ce qui prouve que la formule est vraie au rang .

D’après le principe de récurrence, cela prouve que la formule est vraie pour tout $n\geq\, 1$ .

Exercice 9 :
$\lim_{n\to \infty }a_n=5\,;\,\lim_{n\to \infty }b_n=0\,;\,\lim_{n\to \infty }c_n=1$

Exercice 10 :

1.a. On a , donc
$V_{n+1}\,=\,U_{n+1}\,+\,6\,=\,\frac{1}{2}U_n\,-\,3\,+\,6\,=\,\frac{1}{2}(U_n+6)\,=\,\frac{1}{2}V_n.$
Ainsi, la suite est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de terme initial .

1.b. On a :
$\begin{align*}\,S_n\,=\,\sum_{k=0}^n\,V_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,15\cdot(\frac{1}{2})^k\,=\,15\cdot\sum_{k=0}^n(\frac{1}{2})^k\,\\\,=\,15\cdot\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}\,=\,30\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n+1}).\,\end{align*}$

En utilisant que , on a
$S_n'\,=\,\sum_{k=0}^n\,U_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,(V_k\,-\,6)\,=\,S_n\,-\,6(n+1).$

1.c. Comme $|V_n| = |\frac{1}{2}|^n|V_0|$ , on a $\lim_{n\to+\infty} V_n = 0$ . Ainsi, d’après la formule pour la somme d’une suite géométrique, on a :
$\lim_{n\to+\infty}\,S_n\,=\,\lim_{n\to+\infty}\,30\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n+1})\,=\,30.$

De même, $\lim_{n\to+\infty}S_n' = 30-6\cdot\lim_{n\to+\infty}(n+1) = -\infty$ car $\lim_{n\to+\infty}(n+1) = +\infty$ .

2. On a $W_n = \ln V_n = \ln(U_n+6)$ . On calcule :
$\begin{align*}\,W_{n+1}\,-\,W_n\,=\,\ln\,V_{n+1}\,-\,\ln\,V_n\,=\,\ln(\frac{1}{2})\,\\\,=\,\ln(\frac{U_n+6}{2})\,=\,\ln(\frac{1}{2}(U_n+6))\,=\,\ln(\frac{1}{2}V_n).\,\end{align*}$

Ainsi, la suite est une suite arithmétique de raison $\ln(\frac{1}{2})$ .

On a :
$\begin{align*}\,S_n''\,=\,\sum_{k=0}^n\,W_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,(\ln(U_k+6))\,\\\,=\,\sum_{k=0}^n\,(\ln(V_k)-\ln(2))\,=\,\ln(V_0)-n\ln(2)\,+\,\sum_{k=0}^n\,\ln(V_k)\,\\\,=\,\ln(15)\,-\,n\ln(2)\,+\,\ln(V_0)\cdot\prod_{k=0}^n\,V_k.\,\end{align*}$
On a $\lim_{n\to+\infty} V_n = 0$ , donc $\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=0}^n V_k = 0$ .

Ainsi, on a :
$\lim_{n\to+\infty}\,S_n''\,=\,\ln(15)-\infty\,=\,-\infty.$

3. On a $P_n = V_0\cdot V_1\cdot\ldots\cdot V_n = 15\cdot(\frac{1}{2})^0(\frac{1}{2})^1\cdots(\frac{1}{2})^n = 15\cdot(\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}$ .

En utilisant que $(\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}\leq\, (\frac{1}{2})^{n^2}$ pour tout $n\geq\, 0$ , on a :
$\lim_{n\to+\infty}\,P_n\,=\,\lim_{n\to+\infty}\,15\,\times \,(\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}\,=\,0.$

Exercice 11 :

1. Soit une suite convergente de limite .

Par définition, cela signifie que pour tout $\epsilon >0$ , il existe un entier naturel tel que pour tout $n \geq\, N$ , $|u_n - L|<\epsilon$ .

En particulier, pour $\epsilon = 1$ , il existe un entier naturel tel que pour tout $n \geq\, N$ , Cela signifie que dès que $n \geq\, N$ .

Donc la suite est bornée.

2. Soit une suite croissante et non majorée.

On montre que diverge vers $+ \infty$ . En effet, pour tout , comme n’est pas majorée, il existe un indice tel que .

De plus, comme est croissante, pour tout $n' \geq\, n$ , on a $u_{n'} \geq\, u_n > M$ .

Donc la suite est -supérieure à partir d’un certain rang indépendant de , ce qui signifie que tend vers $+ \infty$ .

3. Supposons qu’une suite converge vers deux limites distinctes et .

Alors, pour tout $\epsilon>0$ , il existe tel que pour tout $n\geq\, N_1$ , on ait $|u_n-L|<\epsilon/2$ et il existe tel que pour tout $n\geq\, N_2$ , on ait $|u_n-L'|<\epsilon/2$ . Soit $N=\max\{N_1, N_2\}$ .

Alors, pour tout $n\geq\, N$ , on a à la fois :
$|u_n - L| < \frac{\epsilon}{2}$
et
$|u_n - L'| < \frac{\epsilon}{2}.$
En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :
$|L-L'| < \epsilon.$
Mais ce n’est possible que si , ce qui contredit notre hypothèse de départ. Ainsi, la limite d’une suite est unique.

4. La suite n’a pas de limite.

En effet, si elle avait une limite , alors pour tout $\epsilon>0$ , il existerait un entier tel que pour tout $n \geq\, N$ , on aurait $|u_n-L|<\epsilon$ .

Mais la suite n’est pas convergente par oscillation : si est pair, et pour impair, .

Ainsi, pour tout , on peut trouver et pairs tels que $n_1\geq\, N$ et $u_{n_1}=n_1>0$ et $n_2\geq\, N$ et $u_{n_2}=-n_2<0$ , et donc $|u_{n_1}-u_{n_2}|=n_1+n_2\geq\, 2N>2\epsilon$ ( $\epsilon< N$ ) ce qui contredit la convergence de .

5. Soit une suite bornée et une suite convergeant vers .

Il existe donc une constante telle que $|u_n| \leq\, M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Par ailleurs, puisque converge vers , pour tout $\epsilon>0$ , il existe un entier tel que pour tout $n \geq\, N$ , on ait $|v_n| \leq\, \epsilon/M$ .

En combinant ces deux inégalités, on en déduit que :
$|u_n v_n| \leq\, M |v_n| \leq\, M \epsilon/M = \epsilon$
pour $n \geq\, N$ . Cela signifie que converge également vers .

6. Soit une suite d’entiers relatifs convergeant vers un réel .

Soit $\epsilon>0$ . Puisque converge vers , il existe un entier tel que pour tout $n\geq\, N$ , on ait $|u_n - L| < \epsilon/2$ . Mais ceci implique que pour tout $n \geq\, N$ :
$|u_n - \lfloor L \rfloor| \leq\, |u_n-L|+|L-\lfloor L \rfloor| < \epsilon,$
puisque $\lfloor L \rfloor \leq\, L < \lfloor L \rfloor +1$ .

Donc, à partir de l’indice , tous les termes de la suite sont à une distance strictement inférieure à $\epsilon$ d’un entier. Puisque seuls un nombre fini d’entiers se trouvent dans un intervalle d’amplitude , cela signifie que la suite est stationnaire à partir de l’indice et donc converge vers l’entier relatif égal à cette valeur commune.

7. Soit une suite divergente vers $+\infty$ .

Pour tout , on a $u_n \geq\, u_0$ , donc la suite est minorée par . En effet, si elle ne l’était pas, il existerait un entier tel que $u_{n_0} < u_0$ , ce qui serait en contradiction avec l’hypothèse de divergence. Ainsi, la suite est minorée par .

Exercice 12 :

1. Pour tout entier $n\geq\, 0$ , on a :
$\begin{align*}\,a_{n+1}\,+\,b_{n+1}\,=\,\frac{a_n\,+\,b_n}{2}\,+\,\sqrt{a_nb_n}\,\\\,=\,\frac{a_n\,+\,b_n\,+\,2\sqrt{a_nb_n}}{2}\,\\\,=\,\frac{\sqrt{a_n}\,+\,\sqrt{b_n}}{\sqrt{2}}^2.\,\end{align*}$

Or, puisque , on a $\sqrt{a_n} > \sqrt{b_n}$ pour tout $n\geq\, 0$ .

Ainsi, on en déduit que $(a_n + b_n)/2 < a_{n+1} + b_{n+1} < a_n + b_n$ pour tout $n\geq\, 0$ .

Donc est une suite croissante majorée par , et donc elle converge vers une limite $\ell$ . Par ailleurs, la suite est décroissante, minorée par et converge donc vers une limite $\ell_a$ . De même, la suite est décroissante, minorée par , et converge donc vers une limite $\ell_b$ . Nous allons montrer que $\ell_a=\ell_b=\ell$ .

Pour tout entier $n\geq\, 0$ , on a :
$a_{n+1}b_{n+1} = \frac{(a_n-b_n)^2}{4} \leq\, \frac{(a_0-b_0)^2}{4}.$
Ainsi, est une suite bornée et converge vers une limite $\ell_{ab}$ . Mais on a aussi, pour tout $n\geq\, 0$ ,
$(\frac{a_n + b_n}{2})^2 - a_nb_n = \frac{(a_n-b_n)^2}{4}.$
Donc, en passant à la limite quand $n\to\infty$ , on a $\ell^2 - \ell_{ab} = \ell^2 /4$ . Cela montre que $\ell_{ab} = 0$ , donc on a $\lim_{n\to\infty} a_n \lim_{n\to\infty} b_n = 0$ , donc $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \ell$ .

Ainsi, les deux suites convergent vers la même limite.

2. La suite $(\sin n)$ ne converge pas car elle prend des valeurs aussi proches que l’on veut de et en alternance. Plus précisément, pour tout $k\in\mathbb N$ , on a $\sin(k\pi/2) = \pm 1$ . La suite $(\cos n)$ ne converge pas non plus, car sinon on aurait par la formule trigonométrique $\sin^2 n + \cos^2 n \to 1$ , ce qui est impossible sous l’hypothèse de convergence infinie de $(\sin n)$ .

Exercice 13 :

1. Nous allons procéder par récurrence sur .

Pour , on a $(1+x)^0=1\geq\, 1+0x$ .

Supposons maintenant que l’inégalité est vraie pour un certain entier naturel , c’est-à-dire $(1+x)^n\geq\, 1+nx$ . En multipliant par des deux côtés de l’inégalité, on obtient $(1+x)^{n+1} \geq\, (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2$ .

Puisque est positif, on a $nx^2\geq\, 0$ , donc $(1+x)^{n+1} \geq\, 1 + (n+1)x$ , ce qui achève la démonstration par récurrence.

2. Si , alors est une suite strictement croissante de réels positifs, donc elle diverge vers $+\infty$ . Si , alors est constante et converge vers 1. Si , alors (puisque ) et donc $a^n\to 0$ lorsque $n\to\infty$ .

Enfin, si , alors n’a pas de limite car lorsque est pair, est positif et lorsque est impair, est négatif. Donc la suite ne peut pas converger vers une limite.

Exercice 14 :

1. Nous allons procéder par récurrence forte. Pour , on a $S_1=1^3=1=2\cdot1^4 - 1^2$ , donc la propriété est vraie pour . Supposons maintenant que la propriété est vraie pour $n\geq\, 1$ , c’est-à-dire

Nous allons montrer que la propriété est alors vraie pour . Pour cela, on a
$\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,S_n\,+\,(2n+1)^3\,\\\,=\,2n^4\,-\,n^2\,+\,(2n+1)^3\,\\\,=\,2n^4\,+\,6n^3\,+\,7n^2\,+\,3n\,+\,1\,\\\,=\,2(n+1)^4\,-\,(n+1)^2,\,\end{align*}$

ce qui montre la propriété pour .

Par récurrence forte, la propriété est donc vraie pour tout $n\geq\, 1$ .

2. On cherche donc le plus petit entier tel que $S_n=913\,276$ . On sait que

Il suffit donc de chercher le plus petit entier tel que $n^2(2n^2-1) \geq\, 913\,276$ . On remarque que $25^2 (2\cdot 25^2-1) = 937\,500$ , donc $n\geq\, 25$ .

On calcule ensuite les valeurs de $S_{25}$ et $S_{26}$ :
$\begin{align*}\,S_{25}\,=\,2\cdot\,25^4\,-\,25^2\,=\,937\,375\,\\\,S_{26}\,=\,2\cdot\,26^4\,-\,26^2\,=\,970\,984\,\end{align*}$

On voit donc que $913\,276$ est bien entre ces deux valeurs, donc la solution cherchée est .

Exercice 15 :
Soient une suite croissante et majorée

et une suite décroissante et minorée.

Les suites et ont-elles nécessairement la même limite ?

Il y a aucune raison pour qu’elles aient la même limite.

Si elles avaient la même limite ce serait des suites adjacentes .

$V_n=\frac{1}{n+1}+3$ la suite est décroissante et minorée par 3 .

$U_n=-\frac{1}{n}$ la suite et croissante et majorée par 0 .

or $\lim \, U_n=0$ et $\lim \, V_n=3$ .

Exercice 16 :
Indication : utiliser le théorème de comparaison.

On suppose connu le résultat suivant :

La suite tend vers $+\infty$ lorsque n tend vers $+\infty$ si tout

intervalle de la forme $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs de

à partir d’un certain rang.

Soient et deux suites telles que :

* est inférieur ou égal à à partir d’un certain rang ;

* tend vers $+\infty$ lorsque n tend vers $+\infty$ .

Démontrer que la suite tend vers $+\infty$ lorsque n tend vers $+\infty$ .

Exercice 17 :
Soit telle que et pour tout entier naturel n, $U_{n+1}=\frac{-4}{4+U_n}$ .

Soit telle que , pour tout entier naturel n, $V_{n }=\frac{1}{2+U_n}$ .

1. Démontrer que la suite est arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ .

Indication : calculer $V_{n+1}-V_n$ et montrer que cette différence ne dépend pas de n.

2. Exprimer en fonction de n et en déduire que pour tout entier naturel n,

$U_n=\frac{2}{n+1}-2$ .

3. Calculer la limite de la suite et celle de la suite .

Exercice 18 :
Soit la suite définie par son premier terme

et pour tout entier naturel n, $U_{n+1}=\frac{-4}{4+U_n}$ .

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $-2<U_n\leq\, 0.$

2. Etudier le sens de variation de la suite

3. Etudier la convergence de la suite

Exercice 19 :

1. On calcule les six premiers termes de la suite :
$\begin{align*}\,u_0\,=\,0\,\\\,u_1\,=\,u_0\,+\,2\cdot\,0\,-\,11\,=\,-11\,\\\,u_2\,=\,u_1\,+\,2\cdot\,1\,-\,11\,=\,-8\,\\\,u_3\,=\,u_2\,+\,2\cdot\,2\,-\,11\,=\,-3\,\\\,u_4\,=\,u_3\,+\,2\cdot\,3\,-\,11\,=\,1\,\\\,u_5\,=\,u_4\,+\,2\cdot\,4\,-\,11\,=\,7\,\end{align*}$

2. La courbe semble être une parabole.

On peut conjecturer que la fonction représentée par cette courbe est une fonction quadratique de la forme .

Par ailleurs, on pourrait conjecturer que la suite a pour terme général , où , et sont des constantes à déterminer.

3. Pour démontrer cette conjecture, on va utiliser la méthode des différences finies. On calcule d’abord la première différence :
$\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,(u_n\,+\,2n\,-\,11)\,-\,u_n\,\\\,=\,2n\,-\,11\,\end{align*}$

On calcule ensuite la deuxième différence :
$\begin{align*}\,(u_{n+1}\,-\,u_n)\,-\,(u_n\,-\,u_{n-1})\,=\,(2n\,-\,11)\,-\,(2(n-1)\,-\,11)\,\\\,=\,2\,\end{align*}$

On remarque que la deuxième différence est constante et égale à .

Cela nous indique que la fonction représentée par la courbe est bien une fonction quadratique. On peut donc écrire .

Par ailleurs, on sait que , donc . On a également , donc . Enfin, on sait que , donc $a = \frac{u_2 - 2u_1 + u_0}{4}$ .

On peut maintenant exprimer le terme général de la suite :
$\begin{align*}\,u_n\,=\,an^2\,+\,bn\,\\\,=\,an^2\,+\,(u_1\,-\,a)n\,\\\,=\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4}\,n^2\,+\,(u_1\,-\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4})n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(u_1\,-\,u_0)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(-11)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,-\,\frac{11}{2}\,n\,\end{align*}$

On a donc bien vérifié la conjecture annoncée à la question précédente.

Exercice 20 :

2. La courbe semble être une parabole. On peut conjecturer que la fonction représentée par cette courbe est une fonction quadratique de la forme .

Par ailleurs, on pourrait conjecturer que la suite a pour terme général , où , et sont des constantes à déterminer.

On calcule ensuite la deuxième différence :
$\begin{align*}\,(u_{n+1}\,-\,u_n)\,-\,(u_n\,-\,u_{n-1})\,=\,(2n\,-\,11)\,-\,(2(n-1)\,-\,11)\,\\\,=\,2\,\end{align*}$
On remarque que la deuxième différence est constante et égale à .

Cela nous indique que la fonction représentée par la courbe est bien une fonction quadratique. On peut donc écrire .

Par ailleurs, on sait que , donc . On a également , donc . Enfin, on sait que , donc $a = \frac{u_2 - 2u_1 + u_0}{4}$ .

On a donc bien vérifié la conjecture annoncée à la question précédente.

Exercice 21 :

Nous allons prouver par récurrence que pour tout entier $n\geq\, 0$ .

Pour et , on a respectivement et $u_1\,=\,2\,=\,2^1$ , donc la propriété est vraie pour et .

Supposons maintenant que la propriété est vraie pour et , c’est-à-dire que et $u_{n+1} = 2^{n+1}$ .

On va montrer que la propriété est alors vraie pour , c’est-à-dire que $u_{n+2} = 2^{n+2}$ .

En utilisant la relation de récurrence, on a
$u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n = 5\cdot 2^{n+1} - 6\cdot 2^n = 2^{n+2},$
ce qui montre la propriété pour .

Par récurrence, la propriété est donc vraie pour tout entier $n\geq\, 0$ , c’est-à-dire que pour tout entier $n\geq\, 0$ , on a .

Exercice 22 :

1. On calcule les quatre premiers termes de la suite :

$S_1 = \frac{(-1)^0}{1} = 1,\quad S_2 = \frac{(-1)^0}{1} + \frac{(-1)^1}{2} = \frac{1}{2},\quad S_3 = \frac{(-1)^0}{1} + \frac{(-1)^1}{2}+\frac{(-1)^2}{3} = \frac{5}{6},$
$\begin{align*}\,S_4\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\frac{(-1)^2}{3}+\frac{(-1)^3}{4}\,\\\,=\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{4}\,\\\,=\,\frac{1}{4}.\,\end{align*}$

2. D’après leur définition, on a $u_n = S_{2n}$ et $v_n = S_{2n+1}$ .

On veut montrer que est croissante, est décroissante et que tend vers quand tend vers l’infini.

Pour montrer que est croissante, on considère $n\geq\, 1$ , on a
$\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,S_{2n+2}\,-\,S_{2n}\,\\\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n}\,+\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,-\,(\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n})\,\\\,=\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,\\\,=\,\frac{1}{n+1}.\,\end{align*}$

Ainsi, est une suite croissante.

De même, pour montrer que est décroissante, on considère $n\geq\, 1$ , on a
$\begin{align*}\,v_{n+1}\,-\,v_n\,=\,S_{2n+3}\,-\,S_{2n+1}\,\\\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,+\,\frac{(-1)^{2n+1}}{n+2}\,-\,(\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n})\,\\\,=\,\frac{(-1)^{2n+1}}{n+2}\,\\\,=\,-\frac{1}{n+2}.\,\end{align*}$

Ainsi, est une suite décroissante.

Enfin, pour montrer que tend vers quand tend vers l’infini, on a
$v_n - u_n = S_{2n+1} - S_{2n} = \frac{(-1)^{2n}}{2n+1},$
et donc
$|v_n - u_n| = \frac{1}{2n+1}.$
La suite tend donc vers quand tend vers l’infini, ce qui montre que et sont adjacentes.

En conclusion, les suites et sont adjacentes et convergent vers une même limite, qui est .

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