Théorème des valeurs intermédiaires : définition
Au programme de Tle
Énoncé du théorème
Si une fonction est continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$, alors elle prend au moins une fois toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.
En clair
Une courbe tracée sans lever le crayon d'un point bas vers un point haut passe forcément par toutes les hauteurs intermédiaires.
Ce qu'il faut retenir
- La continuité est indispensable : sans elle, le théorème tombe en défaut.
- Corollaire : si $f$ est de plus strictement monotone, l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique.
- Cas fréquent : si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, l'équation $f(x) = 0$ a une solution dans $]a\,;\,b[$.
- Le théorème prouve l'existence d'une solution mais ne la calcule pas.
- La méthode de dichotomie permet ensuite d'en obtenir une valeur approchée.
Exemple
$f(x) = x^3 + x - 1$ est continue et strictement croissante, $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$ : l'équation $f(x) = 0$ a une solution unique dans $]0\,;\,1[$.
À ne pas confondre avec
- Continuité — la continuité est l'hypothèse du théorème.
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Termes liés
Continuité Fonction monotone Dichotomie Zéro d'une fonction Limite d'une fonction Aire sous la courbe Asymptote Convexité Croissances comparées Équation différentielle
Questions fréquentes sur « théorème des valeurs intermédiaires »
Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?
Qu'une fonction continue sur un intervalle prend toutes les valeurs comprises entre les images des extrémités.
Comment prouver qu'une équation admet une solution unique ?
On montre que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle, puis que la valeur cherchée est comprise entre les images des bornes.