Logique, démonstration et algorithmique
Dichotomie : définition
Au programme de Tle
Méthode
La dichotomie est une méthode qui encadre la solution d'une équation en coupant à chaque étape l'intervalle de recherche en deux.
En clair
C'est le jeu du « plus grand, plus petit » : on divise l'intervalle par deux à chaque essai.
Ce qu'il faut retenir
- On part d'un intervalle $[a\,;\,b]$ où la fonction change de signe.
- On calcule l'image du milieu $m$ et on garde la moitié où le changement de signe persiste.
- L'amplitude de l'encadrement est divisée par 2 à chaque étape.
- Après $n$ étapes, l'amplitude vaut $\dfrac{b-a}{2^n}$.
- Elle s'applique après le théorème des valeurs intermédiaires, qui garantit l'existence de la solution.
Exemple
$f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0\,;\,1]$ : $f(0{,}5) < 0$, on garde $[0{,}5\,;\,1]$ ; puis $f(0{,}75) > 0$, on garde $[0{,}5\,;\,0{,}75]$, et ainsi de suite.
À ne pas confondre avec
- Théorème des valeurs intermédiaires — le théorème donne l'existence, la dichotomie approche la valeur.
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Termes liés
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Questions fréquentes sur « dichotomie »
Comment fonctionne la méthode de dichotomie ?
On coupe l'intervalle en deux et on garde la moitié qui contient la solution, en répétant jusqu'à la précision voulue.