Suite majorée, minorée, bornée : définition
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Définition
Une suite est majorée s'il existe un nombre que tous ses termes ne dépassent pas ; minorée s'il existe un nombre en dessous duquel elle ne descend pas ; bornée si elle est les deux.
En clair
C'est dire que la suite reste « coincée » sous un plafond, au-dessus d'un plancher, ou entre les deux.
Ce qu'il faut retenir
- $(u_n)$ est majorée par $M$ si $u_n \le M$ pour tout $n$.
- $(u_n)$ est minorée par $m$ si $u_n \ge m$ pour tout $n$.
- Une suite bornée est à la fois majorée et minorée.
- Une suite croissante et majorée converge vers une limite finie.
- Un majorant n'est pas forcément atteint : ce n'est pas nécessairement un maximum.
Exemple
$u_n = \dfrac{n}{n+1}$ est croissante et majorée par 1 : elle converge vers 1 sans jamais l'atteindre.
À ne pas confondre avec
- Maximum d'une fonction — le maximum est atteint, un majorant ne l'est pas forcément.
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Questions fréquentes sur « suite majorée, minorée, bornée »
Une suite majorée converge-t-elle toujours ?
Non : il faut en plus qu'elle soit croissante. Une suite majorée peut osciller sans converger.