Raisonnement par récurrence : définition
Au programme de Tle
Méthode
Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration qui prouve qu'une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d'un certain rang.
En clair
C'est l'effet domino : si le premier domino tombe et que chaque domino fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
Ce qu'il faut retenir
- Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au premier rang.
- Hérédité : on suppose la propriété vraie au rang $n$ et on démontre qu'elle l'est au rang $n+1$.
- Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier à partir du rang initial.
- Les trois étapes sont obligatoires : sans initialisation, la démonstration est fausse.
- L'hypothèse de récurrence doit être utilisée explicitement dans l'hérédité.
Exemple
Montrer que $2^n \ge n+1$ pour tout $n \ge 0$ : c'est vrai pour $n = 0$ ($1 \ge 1$) ; si $2^n \ge n+1$, alors $2^{n+1} = 2\times2^n \ge 2n+2 \ge n+2$.
À ne pas confondre avec
- Suite définie par récurrence — la suite récurrente est un objet, le raisonnement par récurrence une méthode de preuve.
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- Synthèse de coursSuites : récurrence et limites
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Termes liés
Suite définie par récurrence Démonstration Suite croissante Suite majorée, minorée, bornée Implication Limite d'une suite Suite convergente Suite divergente Formule explicite Raison d'une suite
Questions fréquentes sur « raisonnement par récurrence »
Quelles sont les étapes d'un raisonnement par récurrence ?
Initialisation, hérédité, conclusion.
Pourquoi l'initialisation est-elle indispensable ?
Parce qu'une propriété peut être héréditaire tout en étant fausse : sans point de départ vrai, rien ne se propage.