Formule des probabilités totales : définition
Au programme de 1re
Formule
La formule des probabilités totales calcule la probabilité d'un événement en le décomposant selon plusieurs cas qui recouvrent tout l'univers.
Notation : $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar A \cap B) = P(A)P_A(B) + P(\bar A)P_{\bar A}(B)$.
En clair
C'est « faire la somme de tous les chemins » d'un arbre qui mènent à l'événement.
Ce qu'il faut retenir
- Les cas utilisés doivent former une partition de l'univers : ils sont incompatibles et recouvrent tout.
- Sur un arbre, on additionne les probabilités de tous les chemins aboutissant à l'événement.
- Elle se généralise à un nombre quelconque de cas.
- Elle est indispensable dans les problèmes de fiabilité, de dépistage ou de chaînes de production.
Exemple
Deux machines produisent 60 % et 40 % des pièces, avec 2 % et 5 % de défauts : $P(\text{défaut}) = 0{,}6\times0{,}02 + 0{,}4\times0{,}05 = 0{,}032$.
À ne pas confondre avec
- Probabilité conditionnelle — la formule des probabilités totales combine plusieurs probabilités conditionnelles.
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Termes liés
Probabilité conditionnelle Arbre pondéré Événement contraire Intersection d'événements Probabilité Espérance Événements indépendants Loi de probabilité Variable aléatoire Coefficient binomial
Questions fréquentes sur « formule des probabilités totales »
Quand utilise-t-on la formule des probabilités totales ?
Quand l'événement peut se produire dans plusieurs situations distinctes qui recouvrent tous les cas possibles.