Espérance : définition
Au programme de 1re
Définition
L'espérance d'une variable aléatoire est la moyenne de ses valeurs, pondérée par leurs probabilités.
Notation : $E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$.
En clair
C'est le gain moyen que l'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois.
Ce qu'il faut retenir
- C'est une moyenne pondérée par les probabilités.
- Un jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle.
- $E(aX + b) = aE(X) + b$.
- Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ : $E(X) = np$.
- L'espérance n'est pas forcément une valeur que la variable peut prendre.
Exemple
Gain de 5 € avec un 6, perte de 1 € sinon : $E(X) = 5\times\dfrac16 + (-1)\times\dfrac56 = 0$. Le jeu est équitable.
À ne pas confondre avec
- Moyenne — la moyenne porte sur des données observées, l'espérance sur un modèle théorique.
Réviser cette notion sur Mathovore
- Synthèse de coursVariables aléatoires
- Synthèse de coursÉpreuves de Bernoulli et loi binomiale
- Cours completProbabilités : cours de maths en 1ère en PDF
- Exercices corrigésFonctions et variations : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF
- QCM en ligneProbabilités : QCM de maths en 1ère pour réviser son cours
Termes liés
Variable aléatoire Loi de probabilité Variance Moyenne pondérée Loi binomiale Loi des grands nombres Événements indépendants Formule des probabilités totales Probabilité conditionnelle Coefficient binomial
Questions fréquentes sur « espérance »
Comment calculer une espérance ?
On multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis on additionne le tout.
Qu'est-ce qu'un jeu équitable ?
Un jeu dont l'espérance de gain est nulle.