Coefficient binomial : définition

Avec la formule n!/k!(n-k)!, ou directement à la calculatrice.

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Définition

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$, sans tenir compte de l'ordre.

Notation : $\binom{n}{k}$, qui se lit « $k$ parmi $n$ ».

En clair

C'est « combien de combinaisons possibles » : combien de mains de 5 cartes dans un jeu de 32.

$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ et $\binom{n}{1} = n$.
Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
Relation de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$, à la base du triangle de Pascal.
Dans un arbre binaire à $n$ niveaux, $\binom{n}{k}$ compte les chemins comportant $k$ succès.

$\binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!\,3!} = 10$ : il y a 10 façons de choisir 2 éléments parmi 5.

Avec la formule $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$, ou directement à la calculatrice.