Produit scalaire : définition

Avec les coordonnées : xx' + yy'. Ou avec les normes et l'angle : \| u\| \| v\| .

Au programme de 1re Tle

Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre (et non un vecteur) qui mesure « combien » les deux vecteurs pointent dans la même direction.

Notation : $\vec u \cdot \vec v$.

En clair

C'est l'outil qui traduit l'orthogonalité et les angles en calculs : il vaut zéro exactement quand les deux vecteurs sont perpendiculaires.

Avec les coordonnées : $\vec u(x\,;\,y)$ et $\vec v(x'\,;\,y')$ donnent $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$.
Avec les normes et l'angle : $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos(\vec u\,;\,\vec v)$.
$\vec u \cdot \vec v = 0$ si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.
$\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2$.
Le produit scalaire est commutatif et distributif sur l'addition de vecteurs.

$\vec u(3\,;\,2)$ et $\vec v(-2\,;\,3)$ : $\vec u \cdot \vec v = 3\times(-2) + 2\times3 = -6 + 6 = 0$. Les vecteurs sont orthogonaux.

Déterminant de deux vecteurs — le déterminant teste la colinéarité, le produit scalaire l'orthogonalité.

Avec les coordonnées : $xx' + yy'$. Ou avec les normes et l'angle : $\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta$.

À démontrer une orthogonalité, à calculer un angle, à trouver une équation de droite ou de plan, à établir des relations métriques dans un triangle.